Задание №18 — Системы с параметром

Разбор задачи:
Рассмотрим структуру первого уравнения. Если параметр $a = 1$, то уравнение вырождается в прямую $x + y = 7$. В случае, когда $a \neq 1$, левую часть можно разложить на множители, что даёт совокупность двух параллельных прямых: $l_{1}: x + ay = 7$ и $l_{2}: x + ay = 7a$.
Второе уравнение описывает окружность $\omega$ с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
Так как одна прямая может пересекать окружность максимум в двух точках, для получения ровно четырёх различных решений необходимо, чтобы $a \neq 1$ и каждая из прямых $l_{1}$ и $l_{2}$ имела с окружностью по две точки пересечения (при этом прямые не должны совпадать).
Найдём условия, при которых прямая $l_{1}$ пересекает $\omega$. Подставим $x = 7 - ay$ в уравнение окружности:

$$(7 - ay)^2 + y^2 = 45$$ $$(a^2 + 1)y^2 - 14ay + 4 = 0$$

Для наличия двух точек пересечения дискриминант этого квадратного уравнения должен быть строго больше нуля:

$$D/4 = (7a)^2 - 4(a^2 + 1) = 49a^2 - 4a^2 - 4 = 45a^2 - 4 > 0$$ $$(3\sqrt{5}a - 2)(3\sqrt{5}a + 2) > 0$$

Это выполняется при $a \in \left(-\infty; -\frac{2\sqrt{5}}{15}\right) \cup \left(\frac{2\sqrt{5}}{15}; +\infty\right)$.

Теперь исследуем пересечение окружности $\omega$ с прямой $l_{2}$. Подставим $x = 7a - ay$:

$$(7a - ay)^2 + y^2 = 45$$ $$(a^2 + 1)y^2 - 14a^2y + 49a^2 - 45 = 0$$

Условие наличия двух корней (двух точек пересечения):

$$D/4 = (7a^2)^2 - (a^2 + 1)(49a^2 - 45) = 49a^4 - (49a^4 - 45a^2 + 49a^2 - 45) > 0$$ $$-4a^2 + 45 > 0$$ $$(3\sqrt{5} - 2a)(3\sqrt{5} + 2a) > 0$$

Откуда получаем интервал: $-\frac{3\sqrt{5}}{2} < a < \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Объединяя полученные условия и исключая случай $a = 1$ (когда прямые сливаются в одну), находим искомые значения параметра:

$$a \in \left(-\frac{3\sqrt{5}}{2}; -\frac{2\sqrt{5}}{15}\right) \cup \left(\frac{2\sqrt{5}}{15}; 1\right) \cup \left(1; \frac{3\sqrt{5}}{2}\right)$$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{5}}{2} < a < -\frac{2\sqrt{5}}{15}; \frac{2\sqrt{5}}{15} < a < 1; 1 < a < \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Источник: ФИПИ