Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемое выражение должно быть строго положительным, поэтому $x + 7 > 0$ и $8x + 49 > 0$, что дает нам условия $x > -7$ и $x > -6,125$. Однако, учитывая структуру исходного неравенства, оно определено при $x < -7$ или $x > -\frac{49}{8}$.
Заметим, что знаменатель $8x^2 + 7$ всегда больше нуля для любого действительного $x$. С учетом ограничений на переменную, перейдем к сравнению аргументов логарифмов (или потенцированию), что приводит неравенство к виду:

$$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 49}{x + 7}$$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(8x^2 + 7)(x + 7) - (8x + 49)(x^2 + x + 1)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{8x^3 + 56x^2 + 7x + 49 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 49x^2 + 49x + 49)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0$$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$$\frac{-x^2 - 50x}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x(x + 50)}{(x + 7)(x^2 + x + 1)} \leq 0$$

Так как дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = 1 - 4 = -3$), это выражение всегда положительно и не влияет на знак дроби. Решая методом интервалов, находим промежутки: $x \leq -50$ и $-7 < x \leq 0$.
Сопоставим полученные результаты с условиями $x < -7$ и $x > -\frac{49}{8}$:

1. При $x < -7$ решением является луч $x \leq -50$.
2. При $x > -\frac{49}{8}$ решением является полуинтервал $-\frac{49}{8} < x \leq 0$.

Объединяя эти множества, получаем итоговый результат.

Ответ: $(-\infty; -50] \cup (-\frac{49}{8}; 0]$.

Источник: ФИПИ