Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Исходное неравенство имеет вид:
$\frac{1}{\log _{3} x + 4} + \frac{2}{\log _{3} ( 3 x )} \cdot \left(\frac{2}{\log _{3} x + 4} - 1\right) \leq 0$
Воспользуемся свойством логарифма произведения во втором знаменателе:
$\frac{1}{\log _{3} x + 4} + \frac{2}{1 + \log _{3} x} \cdot \left(\frac{2}{\log _{3} x + 4} - 1\right) \leq 0$
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть $\log _{3} x = t$. Тогда выражение примет вид:
$\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{1 + t} \cdot \left(\frac{2}{t + 4} - 1\right) \leq 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\frac{1}{t + 4} + \frac{2}{t + 1} \cdot \left(\frac{2 - (t + 4)}{t + 4}\right) \leq 0$
$\frac{1}{t + 4} + \frac{2 \cdot (- t - 2)}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$
Раскроем скобки в числителе второй дроби:
$\frac{1}{t + 4} + \frac{- 2t - 4}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$
Теперь приведем обе дроби к общему знаменателю $(t + 1)(t + 4)$:
$\frac{(t + 1) - 2t - 4}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$
Упростим числитель:
$\frac{- t - 3}{(t + 1)(t + 4)} \leq 0$
Найдем критические точки. Числитель равен нулю при $t = -3$. Знаменатель обращается в ноль при $t = -1$ и $t = -4$, эти точки будут выколотыми.

Согласно методу интервалов, решением относительно $t$ являются промежутки:
$- 4 < t \leq - 3$ или $t > - 1$
Выполним обратную подстановку, учитывая, что $t = \log _{3} x$:
1) Для первого промежутка:
$- 4 < \log _{3} x \leq - 3$
$\log _{3} 3^{- 4} < \log _{3} x \leq \log _{3} 3^{- 3}$
$\log _{3} \frac{1}{81} < \log _{3} x \leq \log _{3} \frac{1}{27}$
Так как основание логарифма $3 > 1$, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{1}{81} < x \leq \frac{1}{27}$, что соответствует интервалу $x \in ( \frac{1}{81} ; \frac{1}{27} ]$.
2) Для второго промежутка:
$\log _{3} x > - 1$
$\log _{3} x > \log _{3} 3^{- 1}$
$x > \frac{1}{3}$, что соответствует интервалу $x \in (\frac{1}{3} ; + \infty)$.

Ответ: $( \frac{1}{81} ; \frac{1}{27} ] \cup (\frac{1}{3} ; + \infty)$

Источник: ФИПИ