Задание №14 — Показательные уравнения

Решение:
а) Исходное уравнение: $3 \cdot 9^{x + 1} - 5 \cdot 6^{x + 1} + 8 \cdot 2^{2 x} = 0$.
Воспользуемся свойствами степеней и разложим слагаемые:
$3 \cdot 9 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6 \cdot 6^{x} + 8 \cdot 4^{x} = 0$
$27 \cdot 9^{x} - 30 \cdot 6^{x} + 8 \cdot 4^{x} = 0$
Разделим обе части уравнения на $4^{x}$ (заметим, что $4^{x} > 0$):
$27 \cdot \frac{9^{x}}{4^{x}} - 30 \cdot \frac{6^{x}}{4^{x}} + 8 = 0$
Упростим полученные дроби:
$27 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^{x} - 30 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x} + 8 = 0$
$27 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)^{x} - 30 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x} + 8 = 0$
Введем новую переменную $y = \left(\frac{3}{2}\right)^{x}$, где $y > 0$. Получаем квадратное уравнение:
$27 y^{2} - 30 y + 8 = 0$
Найдем дискриминант (через $D/4$):
$\frac{D}{4} = (-15)^{2} - 27 \cdot 8 = 225 - 216 = 9 = 3^{2}$
Вычислим корни для $y$:
$y_{1} = \frac{15 + 3}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
$y_{2} = \frac{15 - 3}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2}$
Перейдем обратно к переменной $x$:
1) $\left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \Rightarrow x = -1$
2) $\left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \frac{4}{9} \Rightarrow \left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \Rightarrow x = -2$

б) Выполним отбор найденных корней на промежутке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \pi\right]$.
Оценим границы интервала, используя приближенное значение $\pi \approx 3{,}14$:
$3{,}14 < \pi < 3{,}15$
Тогда для левой границы имеем:
$-1{,}575 < -\frac{\pi}{2} < -1{,}57$

Сравним корни с границами отрезка:
Число $-2$ меньше, чем $-1{,}575$, следовательно, $-2 \notin \left[- \frac{\pi}{2} ; \pi\right]$.
Число $-1$ больше, чем $-1{,}57$, и меньше $\pi$, значит, $-1 \in \left[- \frac{\pi}{2} ; \pi\right]$.

Ответ: а) -1; -2; б) -1

Источник: ФИПИ