Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение, перенеся все слагаемые в одну часть и раскрыв косинус двойного угла:

$$\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2} \cos x - \sin 2x + 1 = 0$$ $$(2 \cos^2 x - 1) + \sqrt{2} \cos x + 1 = 0$$ $$2 \cos^2 x + \sqrt{2} \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель за скобки: $$\cos x \cdot (2 \cos x + \sqrt{2}) = 0$$ Отсюда получаем два случая: 1) $\cos x = 0$, что дает серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решениями этого уравнения являются $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$, используя тригонометрический круг.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения: $-\frac{5\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{5\pi}{4}$.

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Верно решен только пункт а), либо допущена вычислительная ошибка, но алгоритм решения обоих пунктов соблюден.
— 0 баллов: Решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ