Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Логарифмируемые выражения должны быть положительными, что выполняется при условиях $x < -5$ и $x > - \frac{35}{8}.$

Заметим, что квадратный трёхчлен $8x^2 + 7$ всегда положителен при любых действительных $x$. С учётом ОДЗ исходное неравенство можно переписать в виде:

$$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5};$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$

Раскрыв скобки в числителе, получим:

$$\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$

После приведения подобных слагаемых неравенство упрощается до:

$$\frac{-3x^2 - 36x}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0;$$

Разделим на $-3$, меняя знак неравенства, и разложим числитель на множители:

$$\frac{3x(x + 12)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \leq 0.$$

Так как дискриминант выражения $x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = 1 - 4 = -3$), данный трёхчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, знак дроби зависит только от остальных множителей. Методом интервалов находим решение: $x \leq -12$ или $-5 < x \leq 0.$

Сопоставим полученные промежутки с условиями $x < -5$ и $x > -\frac{35}{8}$. В результате пересечения получаем итоговые интервалы: $x \in (-\infty; -12]$ и $x \in (-\frac{35}{8}; 0].$

Ответ: $(-\infty; -12]; (-\frac{35}{8}; 0].$

Источник: ФИПИ