Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Преобразуем заданное уравнение, сгруппировав слагаемые и используя тригонометрические формулы:

$$\sqrt{3} \sin(2x) + \cos(2x) - \cos(x) = \sqrt{3} \sin(2x) - 1$$

После сокращения одинаковых слагаемых в обеих частях и применения формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$, получаем:

$$2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) = -1$$

Упростим выражение и разложим его на множители:

$$\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0$$

Данное уравнение распадается на два случая:

1) $\cos(x) = 0$, что дает нам серию решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;

2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$, откуда находим $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$, воспользовавшись тригонометрическим кругом.

На указанном отрезке лежат следующие значения: $\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$ и $\frac{11\pi}{3}$ (так как $4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$).

Критерии оценивания:

— 2 балла: приведены верные и обоснованные решения обоих пунктов.

— 1 балл: верно выполнен только пункт а), либо допущена одна арифметическая ошибка, при которой общая логика решения обоих пунктов сохранена.

— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{11\pi}{3}$.

Источник: ФИПИ