Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $2 \sin \left(2 x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos \left(x\right) = \sqrt{3} \sin \left(2 x\right) - 1 .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем заданное уравнение, сгруппировав слагаемые и используя тригонометрические формулы:

$\sqrt{3} \sin(2x) + \cos(2x) - \cos(x) = \sqrt{3} \sin(2x) - 1$

После сокращения одинаковых слагаемых в обеих частях и применения формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ , получаем:

$2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) = -1$

Упростим выражение и разложим его на множители:

$\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0$

Данное уравнение распадается на два случая:

1) $\cos(x) = 0$ , что дает нам серию решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ;

2) $\cos(x) = \frac{1}{2}$ , откуда находим $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ , воспользовавшись тригонометрическим кругом.

На указанном отрезке лежат следующие значения: $\frac{5\pi}{2}$ , $\frac{7\pi}{2}$ и $\frac{11\pi}{3}$ (так как $4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ ).

Критерии оценивания:

— 2 балла: приведены верные и обоснованные решения обоих пунктов.

— 1 балл: верно выполнен только пункт а), либо допущена одна арифметическая ошибка, при которой общая логика решения обоих пунктов сохранена.

— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{11\pi}{3}$ .

Источник: ФИПИ