Задание №18 — Уравнения с параметром

Решение:
Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель отличен от него: $4x^2 - a^2 = 0$ при условии, что $x^2 + 6x + 9 - a^2 \neq 0$.
Разложим выражение в числителе на множители: $(2x - a)(2x + a) = 0$. В системе координат $Oxa$ это уравнение описывает две прямые: $l_1: a = 2x$ и $l_2: a = -2x$. Эти прямые пересекаются в начале координат, поэтому при $a = 0$ уравнение имеет единственный корень, а при любых $a \neq 0$ — два различных корня.
Теперь проанализируем условие для знаменателя. Выражение $x^2 + 6x + 9 - a^2$ можно представить как $(x + 3)^2 - a^2$, что раскладывается в произведение $(x + 3 - a)(x + 3 + a)$. Таким образом, знаменатель обращается в нуль на прямых $m_1: a = x + 3$ и $m_2: a = -x - 3$.
Чтобы найти значения параметра, при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя (и, следовательно, являются посторонними), найдем точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с прямыми $m_1, m_2$.
1) Пересечение $l_1$ и $m_1$:
$$\begin{cases} a = 2x \\ a = x + 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = x + 3 \Rightarrow x = 3, a = 6.$$
Точка пересечения — $(3; 6)$.
2) Пересечение $l_1$ и $m_2$:
$$\begin{cases} a = 2x \\ a = -x - 3 \end{cases} \Rightarrow 2x = -x - 3 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1, a = -2.$$
Точка пересечения — $(-1; -2)$.
3) Пересечение $l_2$ и $m_1$:
$$\begin{cases} a = -2x \\ a = x + 3 \end{cases} \Rightarrow -2x = x + 3 \Rightarrow -3x = 3 \Rightarrow x = -1, a = 2.$$
Точка пересечения — $(-1; 2)$.
4) Пересечение $l_2$ и $m_2$:
$$\begin{cases} a = -2x \\ a = -x - 3 \end{cases} \Rightarrow -2x = -x - 3 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3, a = -6.$$
Точка пересечения — $(3; -6)$.
Таким образом, при значениях $a \in \{-6; -2; 2; 6\}$ один из корней числителя зануляет знаменатель и должен быть исключен. При $a = 0$ уравнение имеет только один корень. Во всех остальных случаях уравнение будет иметь ровно два различных решения.
Следовательно, искомые значения параметра $a$ — это все действительные числа, кроме $0, \pm 2, \pm 6$.

Критерии оценивания:
4 балла — Получен верный ответ с полным обоснованием.
3 балла — Ход решения полностью верен, но в итоговый ответ ошибочно включена точка $a = 0$.
2 балла — Верно исследован хотя бы один случай, и ответ отличается от правильного только включением точек $a = -6, a = 0, a = 2$ или точек $a = -2, a = 0, a = 6$. Также ставится при наличии вычислительной ошибки, не влияющей на общую логику решения.
1 балл — Задача правильно сведена к анализу взаимного расположения прямых на плоскости.
0 баллов — Решение не соответствует указанным выше критериям.

Ответ: $a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$

Источник: ФИПИ