Задание №19 — Уравнения с параметром

Решение:
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла и не обращается в ноль. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять уравнению $9x^{2} - a^{2} = 0$ при соблюдении ограничения $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0$.
Разложим выражение в числителе на множители: $9x^{2} - a^{2} = (3x - a)(3x + a)$. На координатной плоскости $Oxa$ уравнение $(3x - a)(3x + a) = 0$ представляет собой две пересекающиеся в начале координат прямые $l_1: a = 3x$ и $l_2: a = -3x$. При $a = 0$ эти прямые дают единственное решение $x = 0$, а при любом $a \neq 0$ мы получаем два различных корня по $x$.
Теперь разложим выражение из условия отличия знаменателя от нуля: $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} = (x + 4)^{2} - a^{2} = (x + 4 - a)(x + 4 + a)$. Условие того, что знаменатель равен нулю, соответствует паре прямых $m_1: a = x + 4$ и $m_2: a = -x - 4$.
Чтобы понять, при каких значениях параметра $a$ корни числителя «выкалываются» знаменателем, найдём точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с прямыми $m_1, m_2$.
1) Найдём пересечение $l_1$ и $m_1$, решив систему: $$\begin{cases} a = 3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = x + 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = 6 \end{cases}$$ Следовательно, при $a = 6$ один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя.
2) Найдём пересечение $l_1$ и $m_2$: $$\begin{cases} a = 3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow 3x = -x - 4 \Rightarrow 4x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = -3 \end{cases}$$ Значит, при $a = -3$ один корень также посторонний.
3) Найдём пересечение $l_2$ и $m_1$: $$\begin{cases} a = -3x \\ a = x + 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = x + 4 \Rightarrow -4x = 4 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ a = 3 \end{cases}$$ То есть при $a = 3$ один из корней не подходит.
4) Найдём пересечение $l_2$ и $m_2$: $$\begin{cases} a = -3x \\ a = -x - 4 \end{cases} \Rightarrow -3x = -x - 4 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ a = -6 \end{cases}$$ Таким образом, при $a = -6$ один корень исключается.
Заметим, что при $a = -3$ и $a = 3$ «выкалывается» только один из двух корней числителя (так как в этих точках пересекаются только две прямые, а не три), поэтому уравнение всё равно будет иметь два корня. Однако, исходя из структуры задачи и анализа исключаемых точек, условие $x^{2} + 8x + 16 - a^{2} \neq 0$ нарушается для одного из корней $9x^{2} - a^{2} = 0$ в точках $a = \pm 6$ и $a = \pm 3$. При $a = 0$ уравнение имеет всего один корень $x = 0$.
Следовательно, ровно два различных решения исходное уравнение имеет при всех $a$, кроме $0, 6, -6, 3, -3$. Однако, перепроверив точки пересечения, мы видим, что при $a = 3$ и $a = -3$ один корень выбывает, но второй остается, и так как изначально их было два, остается ровно один? Нет, при $a \neq 0$ у нас всегда два потенциальных корня $x = a/3$ и $x = -a/3$. Если один из них совпадает с корнем знаменателя, остается только один корень. Значит, значения $a = \pm 3$ и $a = \pm 6$ должны быть исключены, как и $a = 0$.
Итого, два корня будет при: $a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$.

Критерии оценивания:
4 балла — Полное верное решение и ответ.
3 балла — Решение верно, но в ответ ошибочно включена точка $a = 0$.
2 балла — Рассмотрен хотя бы один случай, ответ отличается от верного включением точек $\pm 6, 0, 3$ или $\pm 3, 0, 6$, либо допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме.
1 балл — Задача правильно сведена к анализу расположения прямых на плоскости.
0 баллов — Решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 3) \cup (3; 6) \cup (6; +\infty)$

Источник: ФИПИ