Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

а) Решите уравнение $2 \cos ^{3} x + \sqrt{3} \cos ^{2} x + 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Разложим левую часть уравнения на множители, представив его в следующем виде: $( 2 \cos x + \sqrt{3} ) ( \cos ^{2} x + 1 ) = 0.$ Данное произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Заметим, что выражение $\cos^{2} x + 1$ всегда принимает значения не меньше $1$ , следовательно, уравнение $\cos^{2} x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Остаётся рассмотреть случай: $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}.$ Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, находим две серии корней: $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}.$

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$ , воспользовавшись тригонометрическим кругом.

Искомыми значениями являются: $- \frac{7 \pi}{6}$ и $- \frac{5 \pi}{6}.$

Критерии оценивания:
• 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
• 1 балл: Правильно решён только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
• 0 баллов: Решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Ответ: а) $\pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $- \frac{7 \pi}{6}; - \frac{5 \pi}{6}.$

Источник: ФИПИ