Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

Решение:
а) Разложим левую часть уравнения на множители, представив его в следующем виде: $$( 2 \cos x + \sqrt{3} ) ( \cos ^{2} x + 1 ) = 0.$$ Данное произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Заметим, что выражение $\cos^{2} x + 1$ всегда принимает значения не меньше $1$, следовательно, уравнение $\cos^{2} x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Остаётся рассмотреть случай: $$\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, находим две серии корней: $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = - \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}.$

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$, воспользовавшись тригонометрическим кругом.

Искомыми значениями являются: $- \frac{7 \pi}{6}$ и $- \frac{5 \pi}{6}.$

Критерии оценивания:
• 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
• 1 балл: Правильно решён только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
• 0 баллов: Решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Ответ: а) $\pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $- \frac{7 \pi}{6}; - \frac{5 \pi}{6}.$

Источник: ФИПИ