Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, а основание переменного логарифма — положительным и отличным от единицы: $2 - x > 0$, $x > 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.
Рассмотрим поведение функций на полученных интервалах:

1) Если $x \in (0; 1)$, то выполняются соотношения $\log_{15} x < \log_{25} x$ и $\log_{9} (2 - x) > \log_{15} (2 - x)$. В этом случае значение левой части неравенства будет отрицательным, что заведомо меньше положительного числа $\log_{25} 9$.
2) Если $x \in (1; 2)$, то имеем $\log_{15} x > \log_{25} x$, в то время как $\log_{9} (2 - x) < \log_{15} (2 - x)$. Следовательно, левая часть снова принимает отрицательные значения и удовлетворяет условию, так как она меньше $\log_{25} 9$.
Следовательно, всё множество допустимых значений $x$ является решением данной задачи.

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: ход решения правильный, но допущена одна арифметическая ошибка, повлиявшая на итоговый результат.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Ответ: $(0; 1) \cup (1; 2)$

Источник: ФИПИ