Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

Решение:

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и перепишем исходное уравнение в виде:
$1 - 2 \sin^{2} x = 1 - \sin x$.
Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим выражение:
$2 \sin^{2} x - \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (2 \sin x - 1) = 0$.
Таким образом, задача сводится к решению двух простейших уравнений:
1) $\sin x = 0$, откуда следует, что $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{1}{2}$, что дает корни $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (или в общем виде: $x = (-1)^{k} \frac{\pi}{6} + \pi k$).

б) Выполним отбор корней, попадающих в заданный отрезок $[ - \frac{5 \pi}{2} ; - \pi )$, используя тригонометрический круг.

На указанном промежутке располагаются следующие значения:
$x_1 = -2\pi$;
$x_2 = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$;
$x_3 = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$.

Критерии оценивания:
2 балла — за верное и обоснованное решение обеих частей задачи.
1 балл — если правильно выполнен только пункт а), либо если допущена арифметическая ошибка, не нарушающая логику решения обоих пунктов.
0 баллов — в остальных случаях.

Ответ:
а) $\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $(-1)^{k} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
б) $-2\pi; -\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}$.

Источник: ФИПИ