Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Разбор задания:
Дана функция: $y = \ln (x + 4)^2 + 2x + 7$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$(x + 4)^2 > 0$.
Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому условие нарушается только при $x + 4 = 0$.
Следовательно, $x \neq -4$.

Для поиска экстремумов вычислим производную заданной функции:
$y' = \left( \ln (x + 4)^2 \right)' + (2x)' + (7)'$.
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$y' = \frac{1}{(x + 4)^2} \cdot 2(x + 4) + 2 = \frac{2}{x + 4} + 2$.

Приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$\frac{2}{x + 4} + 2 = 0$.
Перенесем двойку в правую часть уравнения:
$\frac{2}{x + 4} = -2$.
Отсюда следует:
$-2(x + 4) = 2$,
$x + 4 = -1$,
$x = -5$.

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции, не забывая про точку разрыва $x = -4$:

Как видно из схемы, при переходе через точку $x = -5$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, искомая точка максимума — это $x = -5$.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ