Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Ход решения:

Дана функция: $y = ( 2 x - 3 ) \cdot \cos x - 2 \sin x + 2$

Для исследования функции на экстремумы вычислим её производную, используя правило дифференцирования произведения:
$$y' = (2x - 3)' \cdot \cos x + (2x - 3) \cdot (\cos x)' - (2 \sin x)' + (2)'$$ $$y' = 2 \cdot \cos x + (2x - 3) \cdot (-\sin x) - 2 \cos x + 0$$ После упрощения выражения (взаимного уничтожения $2 \cos x$ и $-2 \cos x$) получаем:
$y' = -(2x - 3) \sin x$

Далее определим критические точки, приравняв производную к нулю:
$-(2x - 3) \sin x = 0$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1{,}5$
2) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Рассматривая заданный интервал $(0; 2\pi)$, мы находим корень $x = 1{,}5$ и корень $x = \pi$.

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Согласно схеме, при переходе через значение $x = 1{,}5$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума: $x = 1{,}5$.

Ответ: 1,5

Источник: ФИПИ