Задание №19 — Системы с параметром

Решение:
Рассмотрим первое уравнение: $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9$. При $x \geq 0$ оно описывает окружность $\omega_1$ с центром в точке $C_1(5; 4)$ и радиусом $R = 3$. В случае $x < 0$ уравнение принимает вид $(-x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9$, что соответствует окружности $\omega_2$ с центром $C_2(-5; 4)$ и тем же радиусом $R = 3$ (графическое представление приведено ниже).
Второе уравнение при $a > 0$ представляет собой семейство окружностей $\omega$ с центром в точке $C(-2; 0)$ и варьируемым радиусом $a$. Следовательно, нам необходимо определить такие значения параметра $a$, при которых окружность $\omega$ имеет ровно одну общую точку с фигурой, образованной дугами или полными окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$.

Проанализируем взаимное расположение $\omega$ и $\omega_1$. Соединим их центры отрезком $CC_1$. Расстояние между центрами равно:
$$CC_1 = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}.$$ Пусть $A_1$ и $B_1$ — точки, в которых луч $CC_1$ пересекает $\omega_1$. Тогда кратчайшее расстояние от $C$ до $\omega_1$ равно $CA_1 = \sqrt{65} - 3$, а наибольшее — $CB_1 = \sqrt{65} + 3$.
Окружности $\omega$ и $\omega_1$ будут касаться при $a = \sqrt{65} - 3$ (внешнее касание) или $a = \sqrt{65} + 3$ (внутреннее касание). Если $a$ находится в интервале между этими значениями, окружности пересекаются в двух точках.

Аналогично рассмотрим окружность $\omega_2$. Расстояние между центрами $C$ и $C_2$:
$$CC_2 = \sqrt{(-5 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5.$$ Точки пересечения луча $CC_2$ с окружностью $\omega_2$ обозначим $A_2$ и $B_2$. Расстояния до них от точки $C$ составят:
$CA_2 = 5 - 3 = 2$ и $CB_2 = 5 + 3 = 8$.
Касание $\omega$ и $\omega_2$ происходит при $a = 2$ или $a = 8$.

Для того чтобы система имела единственное решение, окружность $\omega$ должна касаться одной из окружностей ($\omega_1$ или $\omega_2$) так, чтобы со второй окружностью пересечений не было. Сравним полученные радиусы: так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то $2 < \sqrt{65} - 3 < 8 < \sqrt{65} + 3$.
То есть: $CA_2 < CA_1 < CB_2 < CB_1$.
1) При $a = CA_2 = 2$ окружность $\omega$ касается $\omega_2$, а до $\omega_1$ еще «не дотягивается» ($2 < CA_1$). Это дает 1 решение.
2) При $a = CA_1$ окружность касается $\omega_1$, но уже пересекает $\omega_2$ в двух точках.
3) При $a = CB_2 = 8$ окружность касается $\omega_2$, но пересекает $\omega_1$ в двух точках.
4) При $a = CB_1 = \sqrt{65} + 3$ окружность касается $\omega_1$, при этом она полностью охватывает $\omega_2$ ($a > CB_2$), не имея с ней общих точек. Это дает 1 решение.
Таким образом, искомые значения: $a = 2$ и $a = \sqrt{65} + 3$.

Ответ: $2; \sqrt{65} + 3$

Источник: ФИПИ