Задание №18 — Окружности и системы окружностей

Решение:

а) Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ — центры данных окружностей. Проведём через точку касания $K$ общую касательную к обеим окружностям и обозначим точку её пересечения с отрезком $AB$ как $M.$ Согласно свойствам отрезков касательных, выходящих из одной точки, имеем $AM = KM$ и $BM = KM.$ Таким образом, в треугольнике $AKB$ медиана $KM$ равна половине стороны $AB,$ что доказывает прямоугольность треугольника $AKB$ (угол $AKB$ равен $90^{\circ}$). Поскольку вписанный угол $AKD$ прямой, он опирается на диаметр $AD,$ откуда следует $AD \perp AB.$ По аналогичным соображениям $BC \perp AB.$ Так как две прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB,$ они параллельны между собой.

б) Положим радиусы окружностей равными $R = 4$ и $r = 1.$ Из параллельности оснований $AD$ и $BC$ следует подобие треугольников $BKC$ и $AKD$ с коэффициентом $k = \frac{AD}{BC} = \frac{2R}{2r} = 4.$ Если обозначить площадь треугольника $BKC$ через $S,$ то площадь треугольника $AKD$ будет равна $k^2 S = 16S.$ Заметим, что треугольники $AKD$ и $AKB$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $A,$ поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{AKD}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB}.$ Из подобия треугольников $BKC$ и $AKD$ имеем $\frac{DK}{KB} = \frac{AD}{BC} = 4,$ следовательно, $S_{AKB} = \frac{16S}{4} = 4S.$ Аналогично находим, что $S_{CKD} = 4S.$ Суммарная площадь трапеции $ABCD$ составляет $S + 16S + 4S + 4S = 25S.$

Для вычисления площади трапеции найдём её высоту $AB.$ Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A.$ В прямоугольном треугольнике $O_{1}HO_{2}$ гипотенуза $O_{1}O_{2} = 4 + 1 = 5,$ а катет $O_{1}H = R - r = 4 - 1 = 3.$ Тогда по теореме Пифагора:
$AB = O_{2}H = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.$
Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется как $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20.$
Учитывая, что $25S = 20,$ получаем $S = 0{,}8.$ Тогда искомая площадь треугольника $AKB$ равна $4S = 4 \cdot 0{,}8 = 3{,}2.$

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ