Задание №17 — Окружности и системы окружностей
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям
Решение:
а) Пусть и — центры данных окружностей. Проведём через точку касания общую касательную к обеим окружностям и обозначим точку её пересечения с отрезком как Согласно свойствам отрезков касательных, выходящих из одной точки, имеем и Таким образом, в треугольнике медиана равна половине стороны что доказывает прямоугольность треугольника (угол равен ). Поскольку вписанный угол прямой, он опирается на диаметр откуда следует По аналогичным соображениям Так как две прямые и перпендикулярны одной и той же прямой они параллельны между собой.
б) Положим радиусы окружностей равными и Из параллельности оснований и следует подобие треугольников и с коэффициентом Если обозначить площадь треугольника через то площадь треугольника будет равна Заметим, что треугольники и имеют общую высоту, проведённую из вершины поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: Из подобия треугольников и имеем следовательно, Аналогично находим, что Суммарная площадь трапеции составляет
Для вычисления площади трапеции найдём её высоту Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус В прямоугольном треугольнике гипотенуза а катет Тогда по теореме Пифагора:
Площадь трапеции вычисляется как
Учитывая, что получаем Тогда искомая площадь треугольника равна
Ответ: 3,2
Источник: ФИПИ