Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Правая часть исходного неравенства имеет смысл, когда аргумент логарифма положителен, то есть при $x < -5$ или $x > -\frac{35}{8}$.
Заметим, что выражение $8x^2 + 7$ всегда больше нуля независимо от значения $x$. Следовательно, на найденной области определения мы можем перейти к сравнению аргументов логарифмов (учитывая, что основания логарифмов равны и больше 1):
$$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5}$$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$$\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0$$
Раскрыв скобки в числителе, получим:
$$\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - (8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0$$
После приведения подобных слагаемых неравенство примет вид:
$$\frac{-3x^2 - 36x}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \geq 0$$
Разделим обе части на $-3$, меняя знак неравенства, и разложим числитель на множители:
$$\frac{x(x + 12)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \leq 0$$
Так как дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = 1 - 4 = -3$), это выражение всегда положительно. Тогда решение последнего неравенства методом интервалов дает:
$x \leq -12$ или $-5 < x \leq 0$.
С учетом условий $x < -5$ и $x > -\frac{35}{8}$, окончательно находим подходящие промежутки:
$x \in (-\infty; -12]$ и $x \in (-\frac{35}{8}; 0]$.

Критерии оценивания:
Верный и обоснованный ответ — 2 балла.
Если решение в целом верно, но из ответа ошибочно исключены точки -12 или 0, либо допущена одна арифметическая ошибка при правильном алгоритме решения — 1 балл.
В остальных случаях — 0 баллов.

Ответ: $(-\infty; -12]; (-\frac{35}{8}; 0]$

Источник: ФИПИ