Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$. У них катет $AD$ является общим, а гипотенузы равны по условию ($AB = AC$). Из равенства треугольников по катету и гипотенузе следует, что их вторые катеты также равны: $BD = CD$. Что и требовалось доказать.

б) Вычислим длины ребер пирамиды. Поскольку треугольник $BCD$ прямоугольный и равнобедренный, его катеты находятся через гипотенузу $BC$:
$$BD = CD = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5.$$
Так как по условию $AD = BD$, то $AD = 5$. Теперь определим длины сторон сечения — треугольника $MNB$.
Используя теорему Пифагора для соответствующих граней, получим:
$MB = NB = \sqrt{BD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29},$
$MN = \sqrt{MD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}.$
Для нахождения площади равнобедренного треугольника $MNB$ проведем высоту к основанию $MN$. Длина этой высоты составит:
$$h = \sqrt{MB^{2} - \left(\frac{MN}{2}\right)^{2}} = \sqrt{29 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$$
Тогда искомая площадь треугольника равна:
$$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \sqrt{6}.$$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено корректное доказательство в пункте (а) и получен верный результат в пункте (б).
2 балла — верно выполнен пункт (б), либо доказан пункт (а) и при верном ходе решения пункта (б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт (а), либо пункт (б) выполнен верно без доказательства пункта (а), либо в пункте (б) допущена арифметика при верном алгоритме.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $3 \sqrt{6}$

Источник: ФИПИ