Задание 15

Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий

Задание №15
№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
Задание №15
№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
Задание №15
№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
Задание №15
№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
Задание №15
№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники

Задание №15 — Сечения

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 \sqrt{2} .$
а) Докажите, что $BD = CD .$
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём $DM : MA = DN : NC = 2 : 3 .$ Найдите площадь сечения MNB.

Ваше решениедо 3 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$ . У них катет $AD$ является общим, а гипотенузы равны по условию ( $AB = AC$ ). Из равенства треугольников по катету и гипотенузе следует, что их вторые катеты также равны: $BD = CD$ . Что и требовалось доказать.

б) Вычислим длины ребер пирамиды. Поскольку треугольник $BCD$ прямоугольный и равнобедренный, его катеты находятся через гипотенузу $BC$ :
$BD = CD = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5.$
Так как по условию $AD = BD$ , то $AD = 5$ . Теперь определим длины сторон сечения — треугольника $MNB$ .
Используя теорему Пифагора для соответствующих граней, получим:
$MB = NB = \sqrt{BD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29},$
$MN = \sqrt{MD^{2} + DN^{2}} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}.$
Для нахождения площади равнобедренного треугольника $MNB$ проведем высоту к основанию $MN$ . Длина этой высоты составит:
$h = \sqrt{MB^{2} - \left(\frac{MN}{2}\right)^{2}} = \sqrt{29 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.$
Тогда искомая площадь треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \sqrt{6}.$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено корректное доказательство в пункте (а) и получен верный результат в пункте (б).
2 балла — верно выполнен пункт (б), либо доказан пункт (а) и при верном ходе решения пункта (б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт (а), либо пункт (б) выполнен верно без доказательства пункта (а), либо в пункте (б) допущена арифметика при верном алгоритме.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $3 \sqrt{6}$

Источник: ФИПИ