Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Сумма/разность аргументов или функций

а) Решите уравнение $2 \sin ( x + \frac{\pi}{3} ) + \cos 2 x = \sqrt{3} \cos x + 1 .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ - 3 \pi ; - \frac{3 \pi}{2} \left]\right. .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение:
а) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ :
$\sin x + \sqrt{3} \cos x + (1 - 2 \sin^2 x) = \sqrt{3} \cos x + 1.$
Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим выражение:
$\sin x - 2 \sin^2 x = 0.$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (1 - 2 \sin x) = 0.$
Данное уравнение распадается на два простейших:
1) $\sin x = 0$ , откуда получаем серию корней $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ .
2) $1 - 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$ .
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ .

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[ - 3 \pi ; - \frac{3 \pi}{2} ]$ , воспользовавшись тригонометрическим кругом.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения: $- 3 \pi$ , $- 2 \pi$ и $- \frac{11 \pi}{6}$ (так как $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ ).

Критерии оценивания:
2 балла — за верное и обоснованное решение обеих частей задачи.
1 балл — если правильно решен только пункт а), либо если допущена арифметическая ошибка, не влияющая на общую логику и последовательность действий в обоих пунктах.
0 баллов — в остальных случаях, не подходящих под критерии выше.

Ответ: а) $\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z};$ б) $- 3 \pi; - 2 \pi; - \frac{11 \pi}{6}$ .

Источник: ФИПИ