Решение:
а) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$\sin x + \sqrt{3} \cos x + (1 - 2 \sin^2 x) = \sqrt{3} \cos x + 1.$
Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим выражение:
$\sin x - 2 \sin^2 x = 0.$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x (1 - 2 \sin x) = 0.$
Данное уравнение распадается на два простейших:
1) $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 - 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $[ - 3 \pi ; - \frac{3 \pi}{2} ]$, воспользовавшись тригонометрическим кругом.

Указанному отрезку соответствуют следующие значения: $- 3 \pi$, $- 2 \pi$ и $- \frac{11 \pi}{6}$ (так как $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$).

Критерии оценивания:
2 балла — за верное и обоснованное решение обеих частей задачи.
1 балл — если правильно решен только пункт а), либо если допущена арифметическая ошибка, не влияющая на общую логику и последовательность действий в обоих пунктах.
0 баллов — в остальных случаях, не подходящих под критерии выше.

Ответ: а) $\pi k, k \in \mathbb{Z}; \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z};$ б) $- 3 \pi; - 2 \pi; - \frac{11 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ