Ход решения:
Дана функция: $y = \frac{- x}{x^{2} + 256}$

Для поиска экстремумов вычислим производную данной функции по правилу дифференцирования частного:
$y' = \left( \frac{-x}{x^2 + 256} \right)' = \frac{(-x)' \cdot (x^2 + 256) - (-x) \cdot (x^2 + 256)'}{(x^2 + 256)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$y' = \frac{-1 \cdot (x^2 + 256) + x \cdot 2x}{(x^2 + 256)^2} = \frac{-x^2 - 256 + 2x^2}{(x^2 + 256)^2} = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2}$

Приравняем полученную производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$\frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0$

Заметим, что выражение в знаменателе $(x^2 + 256)^2$ всегда строго больше нуля при любых значениях $x$, поэтому оно не влияет на знак дроби. Достаточно решить уравнение для числителя:
$x^2 - 256 = 0$
$x^2 = 256$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 16$ и $x_2 = -16$.

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Согласно схеме, при переходе через точку $x = 16$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это и есть искомая точка минимума.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ