Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции, используя правило дифференцирования произведения:

$$y' = \left( (x + 8)^2 \right)' \cdot e^{3 - x} + (x + 8)^2 \cdot \left( e^{3 - x} \right)'$$

Применяя формулу производной сложной функции, получаем:
$y' = 2(x + 8) \cdot 1 \cdot e^{3 - x} + (x + 8)^2 \cdot e^{3 - x} \cdot (-1)$
$y' = 2(x + 8)e^{3 - x} - (x + 8)^2 e^{3 - x}$

Вынесем общий множитель $e^{3 - x}$ за скобки:
$y' = e^{3 - x} \left( 2(x + 8) - (x + 8)^2 \right)$

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек:
$e^{3 - x} (2(x + 8) - (x + 8)^2) = 0$

Так как показательная функция $e^{3 - x}$ всегда принимает положительные значения, уравнение сводится к анализу выражения в скобках:
$2(x + 8) - (x + 8)^2 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x + 16 - (x^2 + 16x + 64) = 0$
$-x^2 - 14x - 48 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 + 14x + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 14^2 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$
Находим корни:
$x_1 = \frac{-14 + 2}{2} = -6$
$x_2 = \frac{-14 - 2}{2} = -8$

Проанализируем знаки производной на числовой прямой и определим характер изменения функции:

Исходя из схемы, при переходе через точку $x = -6$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума — это $x = -6$.

Ответ: -6

Источник: ФИПИ