Разбор задачи:
Обозначим через $x$ массу первого раствора с концентрацией кислоты 45%, а через $y$ — массу второго раствора с концентрацией 97%.

Рассмотрим два случая смешивания компонентов:
1 — исходный 45%-ный раствор;
2 — исходный 97%-ный раствор;
3 — добавка в виде 10 кг чистой воды (содержание кислоты 0%);
4 — добавка в виде 10 кг 50%-ного раствора кислоты.

Компонент	Доля кислоты	Масса смеси (кг)	Масса чистого вещества (кг)
1	$0{,}45$	$x$	$0{,}45x$
2	$0{,}97$	$y$	$0{,}97y$
3 (вода)	$0$	$10$	$0$
Итог (1+2+3)	$0{,}62$	$x + y + 10$	$0{,}62(x + y + 10)$
4 (раствор)	$0{,}5$	$10$	$5$
Итог (1+2+4)	$0{,}72$	$x + y + 10$	$0{,}72(x + y + 10)$

На основе баланса массы кислоты составим и решим систему линейных уравнений для поиска $x$:

$$\begin{cases} 0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62(x + y + 10) \\ 0{,}45x + 0{,}97y + 5 = 0{,}72(x + y + 10) \end{cases}$$

Умножим оба уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, и раскроем скобки:
$$\begin{cases} 45x + 97y = 62x + 62y + 620 \\ 45x + 97y + 500 = 72x + 72y + 720 \end{cases}$$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$$\begin{cases} 35y - 17x = 620 \quad (1) \\ 25y - 27x = 220 \quad (2) \end{cases}$$

Выразим $y$ из второго уравнения:
$25y = 220 + 27x \Rightarrow y = 8{,}8 + 1{,}08x$

Подставим полученное выражение в первое уравнение (1):
$-17x + 35(8{,}8 + 1{,}08x) = 620$
$-17x + 308 + 37{,}8x = 620$
$20{,}8x = 312$
$x = 15$

Таким образом, масса первого раствора составляет 15 кг.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ