Решение:
Согласно условию, объём исходного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ и равен $54$.
Для начала определим объём малого конуса, отсечённого плоскостью. Высота конуса разделена в пропорции $1:2$, считая от вершины. Это означает, что вся высота большого конуса состоит из $1 + 2 = 3$ равных частей. Таким образом, высота отсечённой части составляет $\frac{1}{3}$ от полной высоты $h$:

Рассмотрим осевое сечение фигуры. Прямоугольные треугольники в сечении подобны по двум углам (общий угол при вершине и прямые углы при основаниях). Из подобия следует, что отношение радиусов оснований конусов равно отношению их высот. Следовательно, радиус отсечённого конуса также составляет $\frac{1}{3}$ от радиуса $r$ исходного конуса:

Вычислим объём отсечённого конуса $V_{отс}$, подставив новые значения параметров:
$V_{отс} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot ( \frac{1}{3} r )^{2} \cdot \frac{1}{3} h = \frac{1}{27} \cdot ( \frac{1}{3} \pi r^{2} h ) = \frac{1}{27} \cdot V_{кон}$.
Подставим известное значение объёма: $V_{отс} = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$.
Искомый объём нижней части (усечённого конуса), прилегающей к основанию, находится как разность объёмов целого конуса и его отсечённой верхушки:
$V_{осн} = V_{кон} – V_{отс} = 54 – 2 = 52$.

Ответ: 52

Источник: ФИПИ