Задание 3

Стереометрия · 112 заданий

Задание №3
№3Лёгкое
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объём конуса, если объём цилиндра равен 150.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Лёгкое
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 2, AD = 10,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 4, AD = 3,…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, A₁, B₁, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 5, AD = 1…
Многогранники
Задание №3
№3Среднее
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, B₁, C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁, у которого AB = 6, AD = 6,…
Многогранники
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 44 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 77 √(2). Найдите п…
Тела вращения
Задание №3
№3Сложное
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √(2). Найдите пл…
Тела вращения
Задание №3
№3Лёгкое
Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.
Тела вращения
Задание №3
№3Среднее
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы р…
Тела вращения

Задание №3 — Тела вращения

Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2, считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Согласно условию, объём исходного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ и равен $54$ .
Для начала определим объём малого конуса, отсечённого плоскостью. Высота конуса разделена в пропорции $1:2$ , считая от вершины. Это означает, что вся высота большого конуса состоит из $1 + 2 = 3$ равных частей. Таким образом, высота отсечённой части составляет $\frac{1}{3}$ от полной высоты $h$ :

Рассмотрим осевое сечение фигуры. Прямоугольные треугольники в сечении подобны по двум углам (общий угол при вершине и прямые углы при основаниях). Из подобия следует, что отношение радиусов оснований конусов равно отношению их высот. Следовательно, радиус отсечённого конуса также составляет $\frac{1}{3}$ от радиуса $r$ исходного конуса:

Вычислим объём отсечённого конуса $V_{отс}$ , подставив новые значения параметров:
$V_{отс} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot ( \frac{1}{3} r )^{2} \cdot \frac{1}{3} h = \frac{1}{27} \cdot ( \frac{1}{3} \pi r^{2} h ) = \frac{1}{27} \cdot V_{кон}$ .
Подставим известное значение объёма: $V_{отс} = \frac{1}{27} \cdot 54 = 2$ .
Искомый объём нижней части (усечённого конуса), прилегающей к основанию, находится как разность объёмов целого конуса и его отсечённой верхушки:
$V_{осн} = V_{кон} – V_{отс} = 54 – 2 = 52$ .

Ответ: 52

Источник: ФИПИ