Решение:
Для нахождения значения тангенса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$. Из него выразим квадрат синуса: $\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha$. Следовательно, $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha}$. Подставим известное значение косинуса: $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \left(- \frac{\sqrt{26}}{26}\right)^{2}} = \pm \sqrt{1 - \frac{26}{676}} = \pm \sqrt{\frac{650}{676}} = \pm \frac{25 \cdot 26}{26^2} = \pm \frac{5 \sqrt{26}}{26}.$$ По условию угол $\alpha$ принадлежит второй четверти, так как $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)$. В этом промежутке синус принимает положительные значения, поэтому $\sin \alpha = \frac{5 \sqrt{26}}{26}$. Теперь вычислим тангенс угла, используя отношение синуса к косинусу: $$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5 \sqrt{26}}{26} : \left(- \frac{\sqrt{26}}{26}\right) = \frac{5 \sqrt{26}}{26} \cdot \left(- \frac{26}{\sqrt{26}}\right) = -5.$$

Ответ: -5

Источник: ФИПИ