Задание №20 — Свойства чисел

Решение:

А) Рассмотрим преобразование пары чисел $(a; b)$. На первом шаге мы переходим к паре $(a + b; a - b)$. Так как по условию числа натуральные, сумма всегда больше разности. На втором шаге из полученной пары $(a + b; a - b)$ формируется новая пара: $((a + b) + (a - b); (a + b) - (a - b))$, что упрощается до $(2a; 2b)$. Таким образом, за каждые два такта каждое число в паре увеличивается ровно в два раза. Если мы выполним 4 хода (два цикла по два шага), исходное число 150 удвоится дважды: $150 \cdot 2 \cdot 2 = 600$. Следовательно, число 600 получить можно.

Б) Начиная с чисел $(150; 7)$, после первого действия мы придем к паре $(157; 143)$. Учитывая закономерность удвоения через каждые два шага, все последующие комбинации чисел будут выглядеть либо как $(150 \cdot 2^{k}; 7 \cdot 2^{k})$, либо как $(157 \cdot 2^{k}; 143 \cdot 2^{k})$, где $k$ — натуральное число. Заметим, что число 1190 делится на 17 без остатка ($1190 = 17 \cdot 70$). Однако ни одно из базовых чисел (150, 7, 157, 143) не кратно 17. Поскольку умножение на степени двойки не добавляет новых простых множителей, получить число 1190 невозможно.

В) Предположим, что пара $(1224; 1190)$ была получена из некоторой пары $(a; b)$ на предыдущем шаге. Тогда должны выполняться равенства $a + b = 1224$ и $a - b = 1190$. Решая эту систему, находим $a = 1207$ и $b = 17$. Как было доказано в пункте А, каждые два хода значения в паре удваиваются. Чтобы найти максимально возможное значение $a$, попробуем «отмотать» процесс назад, деля числа на 2. Пара $(1207; 17)$ состоит из нечетных чисел, поэтому она не могла быть получена удвоением. С другой стороны, пара $(1224; 1190)$ является результатом удвоения пары $(612; 595)$. В паре $(612; 595)$ число 595 нечетное, значит, дальнейшее деление на 2 невозможно. Таким образом, наибольшее значение $a$, из которого можно прийти к заданному результату, равно 612.

Критерии оценивания:
4 балла — даны верные и обоснованные ответы во всех трёх пунктах.
3 балла — верно решены пункты А и В, либо Б и В.
2 балла — представлено верное решение только пункта В, либо пунктов А и Б вместе.
1 балл — обоснованно решён только пункт А или только пункт Б.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных требований.

Ответ: А) да; Б) нет; В) 612

Источник: ФИПИ