Задание №20 — Числовые наборы на карточках/досках

Решение:

а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера рассмотрим число $210$. Если из него поочередно убрать одну цифру, мы получим числа $21$ (убрали $0$) и $10$ (убрали $2$). Их произведение равно исходному числу: $21 \cdot 10 = 210$.

б) Предположим, такое число существует. Заметим, что при удалении любой из цифр в числе, начинающемся на $4$, полученное двузначное число будет как минимум $40$. В таком случае произведение двух этих чисел окажется не меньше, чем $40 \cdot 40 = 1600$. Однако по условию произведение должно равняться исходному числу, которое меньше $500$. Полученное противоречие ($1600 > 500$) доказывает, что это невозможно.

в) Проверим число $810$. При вычеркивании цифр получаем $81$ и $10$, их произведение $81 \cdot 10 = 810$ совпадает с исходным. Выясним, существуют ли подходящие числа больше $810$. Для числа $811$ условие не выполняется: $81 \cdot 11 \neq 811$. Рассмотрим диапазон от $812$ до $899$. Все эти числа начинаются с цифры $8$. 1) Если в обоих двузначных числах первая цифра $8$ сохраняется, то каждое из них не меньше $80$, а их произведение $80 \cdot 80 = 6400$, что значительно больше любого числа из рассматриваемого промежутка. 2) Если цифра $8$ остается только в одном из чисел, то это число не меньше $80$. Второе число формируется из двух последних цифр исходного числа, то есть оно не меньше $12$. Тогда произведение составит минимум $80 \cdot 12 = 960$, что опять же больше $900$. 3) Если же цифра $8$ удаляется в обоих случаях, то оба полученных двузначных числа должны быть идентичны (состоять из второй и третьей цифр исходного числа). Тогда исходное число должно быть полным квадратом. Проверим квадраты в этом диапазоне: $29^2 = 841$. Если в числе $841$ отбросить восьмерку, останется $41$, но $41 \cdot 41 \neq 841$. Следующий квадрат $30^2 = 900$ уже выходит за границы диапазона. Следовательно, наибольшее возможное число — $810$.

Критерии оценивания:
Выполнены все пункты с полным обоснованием — 4 балла
Обоснованно решены пункты а) и в) или б) и в) — 3 балла
Верно решен только пункт в) или оба пункта а) и б) — 2 балла
Представлено верное решение только для пункта а) или только для пункта б) — 1 балл
Решение не соответствует указанным критериям — 0 баллов

Ответ: а) да; б) нет; в) 810

Источник: ФИПИ