Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} (x^{2} - 7x - y + 8) \cdot \sqrt{x - y + 8} = 0 \\ y = ax + a \end{matrix}\right.$

Первое уравнение системы распадается на совокупность при соблюдении условия существования квадратного корня:
$\left\{\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} x^2 - 7x - y + 8 = 0 \\ \sqrt{x - y + 8} = 0 \end{matrix} \right. \\ x - y + 8 \geq 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} y = x^2 - 7x + 8 \\ y = x + 8 \end{matrix} \right. \\ y \leq x + 8 \end{matrix}\right.$
Изобразим полученное множество точек на плоскости Oxy. Графиком первого уравнения является парабола с вершиной в точке:
$x_{0} = \frac{-(-7)}{2 \cdot 1} = 3,5$; $y_{0} = (3,5)^2 - 7 \cdot 3,5 + 8 = -4,25$.
При этом условие $y \leq x + 8$ ограничивает графики: мы берем часть параболы, лежащую не выше прямой $y = x + 8$, и саму эту прямую.

Второе уравнение системы $y = a(x + 1)$ представляет собой семейство прямых, проходящих через фиксированную точку $A(-1; 0)$ с угловым коэффициентом $a$.
Нам необходимо найти такие значения $a$, при которых прямая имеет ровно две общие точки с построенным графиком.

1) Прямая проходит через точку $C(0; 8)$, являющуюся точкой пересечения параболы и прямой. Подставим координаты в уравнение: $8 = a(0 + 1) \Rightarrow a = 8$.
2) Прямая проходит через вторую точку пересечения параболы и прямой — точку $B(8; 16)$. Тогда $16 = a(8 + 1) \Rightarrow a = \frac{16}{9}$.
3) Определим условие касания прямой $y = ax + a$ и параболы $y = x^2 - 7x + 8$:
$x^2 - 7x + 8 = ax + a \Rightarrow x^2 - (7 + a)x + (8 - a) = 0$.
Касание происходит, когда дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю:
$D = (7 + a)^2 - 4(8 - a) = 49 + 14a + a^2 - 32 + 4a = a^2 + 18a + 17$.
$a^2 + 18a + 17 = 0 \Rightarrow a_1 = -1, a_2 = -17$.
Проверим точки касания:
При $a = -17$ получаем $x^2 + 10x + 25 = 0 \Rightarrow x = -5$. Тогда $y = (-5)^2 - 7(-5) + 8 = 68$. Однако точка $(-5; 68)$ не удовлетворяет условию $y \leq x + 8$ ($68 \leq 3$ — ложно).
При $a = -1$ получаем $x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$. Тогда $y = 3^2 - 7 \cdot 3 + 8 = -4$. Точка $(3; -4)$ подходит, так как $-4 \leq 3 + 8$. Это дает нам одно из искомых решений.
4) Также два решения будут в случае, если прямая $y = ax + a$ параллельна прямой $y = x + 8$. Это происходит при равенстве угловых коэффициентов: $a = 1$.

Анализируя взаимное расположение графиков, получаем искомые значения параметра:
$a = -1$, $a = 1$ или $a \in [\frac{16}{9}; 8)$.

Ответ: $a \in \{-1\} \cup \{1\} \cup [\frac{16}{9}; 8)$

Источник: ФИПИ