Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} ( xy - x + 8 ) \sqrt{y - x + 8} = 0 \\ y = 2 x + a \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на совокупность при условии, что подкоренное выражение неотрицательно:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} xy - x + 8 = 0 \\ y - x + 8 = 0 \end{matrix}\right. \\ y - x + 8 \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем эти условия к виду функций $y(x)$:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} y = 1 - \frac{8}{x} \\ y = x - 8 \end{matrix}\right. \\ y \geq x - 8 \end{matrix}\right.$

Изобразим полученное множество точек на плоскости $Oxy$:


Вычислим координаты точек, в которых пересекаются прямая и гипербола:
$1 - \frac{8}{x} = x - 8$
$x - 9 + \frac{8}{x} = 0$
$\frac{x^2 - 9x + 8}{x} = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$.
Соответствующие точки: $C(1; -7)$ и $D(8; 0)$.

Второе уравнение системы $y = 2x + a$ задает семейство параллельных прямых. Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эти прямые имеют ровно две общие точки с построенным графиком.
Определим значения параметра для прохождения через характерные точки:
Для точки $C(1; -7)$:
$-7 = 2 \cdot 1 + a \Rightarrow a = -9$.
Для точки $D(8; 0)$:
$0 = 2 \cdot 8 + a \Rightarrow a = -16$.

Теперь найдем условия касания прямой $y = 2x + a$ и гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$:
$2x + a = 1 - \frac{8}{x}$
$2x^2 + (a - 1)x + 8 = 0$
Касание происходит, когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю:
$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = (a - 1)^2 - 64 = 0$
$(a - 1)^2 = 64 \Rightarrow a - 1 = \pm 8$.
Получаем два значения: $a = 9$ (соответствует точке касания $A$) и $a = -7$ (соответствует точке касания $B$).

Анализируя взаимное расположение графиков, получаем, что ровно два решения система имеет в следующих случаях:
1) При $a \in (-16; -9]$ прямая пересекает луч $y = x - 8$ (при $x \geq 8$) и ветвь гиперболы.
2) При $a = -7$ и $a = 9$ наблюдаются случаи касания с гиперболой при соблюдении условия $y \geq x - 8$.

Ответ: $a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$

Источник: ФИПИ