Решение:

а) Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как $O$. Пусть секущая прямая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.
Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, имеем $AO = \frac{1}{2} AC$.
По условию $AM = \frac{1}{3} AC$, следовательно, $MC = \frac{2}{3} AC$.
Вычислим длину отрезка $MO$:
$MO = AO - AM = \frac{1}{2} AC - \frac{1}{3} AC = \frac{1}{6} AC$.

Аналогично для диагонали $BD$:
$OB = \frac{1}{2} BD$. Учитывая, что $BN = \frac{1}{4} BD$, находим длину $ON$:
$ON = OB - BN = \frac{1}{2} BD - \frac{1}{4} BD = \frac{1}{4} BD$.

Применим теорему Менелая для треугольника $BOC$ и прямой, проходящей через точки $M, N, K$:
$$\frac{CM}{MO} \cdot \frac{ON}{NB} \cdot \frac{BK}{KC} = 1$$
Подставим найденные соотношения:
$\frac{\frac{2}{3} AC}{\frac{1}{6} AC} \cdot \frac{\frac{1}{4} BD}{\frac{1}{4} BD} \cdot \frac{BK}{KC} = 1$
$\frac{2 \cdot 6}{3} \cdot 1 \cdot \frac{BK}{KC} = 1 \Rightarrow 4 \cdot \frac{BK}{KC} = 1$
Отсюда получаем, что $\frac{BK}{KC} = \frac{1}{4}$, то есть $BK : KC = 1 : 4$.

б) Заметим, что в прямоугольных треугольниках углы связаны соотношением: $\angle MNO = \angle BNK = 90^{\circ} - \angle NBK$.
Так как $\angle NBK = \angle ABO$, а в прямоугольном $\triangle ABO$ сумма острых углов $90^{\circ}$, то $90^{\circ} - \angle ABO = \angle BAO$.
Таким образом, прямоугольные треугольники $ABO$ и $MNO$ подобны по острому углу ($\angle MNO = \angle BAO$).
Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AB}{MN} = \frac{AO}{NO} = \frac{BO}{MO}$.
Из пункта а) мы знаем, что $AO = 3 MO$ и $BO = 2 NO$.
Тогда $\frac{3 MO}{NO} = \frac{2 NO}{MO}$, что приводит к уравнению $3 MO^{2} = 2 NO^{2}$.
Следовательно, $\frac{MO^2}{NO^2} = \frac{2}{3}$, откуда $\frac{MO}{NO} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Теперь найдем искомое расстояние $AB$:
$\frac{AB}{MN} = \frac{AO}{NO} = \frac{3 MO}{NO} = 3 \sqrt{\frac{2}{3}}$.
Подставим значение $MN = 3\sqrt{2}$:
$AB = 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ