Задание №16 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
$\left(\log _{0{,}2}^{2} ( x + 2 ) - \log _{5} \left(x^{2} + 4 x + 4\right) + 1\right) \cdot \log _{5} \left(x + 1\right) \leq 0$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} x + 2 > 0 \\ x^{2} + 4 x + 4 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{matrix}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x > - 2 \\ (x + 2)^{2} > 0 \\ x > - 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow$
$\Rightarrow x \in ( - 1 ; + \infty )$

Преобразуем выражение. Заметим, что $\log _{0{,}2} (x+2) = \log_{5^{-1}} (x+2) = -\log_5 (x+2)$. При возведении в квадрат минус исчезает. Также представим многочлен как полный квадрат:
$\left(\log _{5}^{2} ( x + 2 ) - \log _{5} ( x + 2 )^{2} + 1\right) \cdot \log _{5} ( x + 1 ) \leq 0 .$
Учитывая условие $x > - 1$, вынесем показатель степени за знак логарифма:
$\left(\log _{5}^{2} ( x + 2 ) - 2 \log _{5} ( x + 2 ) + 1\right) \cdot \log _{5} ( x + 1 ) \leq 0 .$
Выражение в первой скобке сворачивается по формуле квадрата разности $(a-b)^2$:
$\left(\log _{5} ( x + 2 ) - 1\right)^{2} \cdot \log _{5} ( x + 1 ) \leq 0 .$
Поскольку множитель $\left(\log _{5} ( x + 2 ) - 1\right)^{2}$ всегда принимает неотрицательные значения, неравенство выполняется, когда либо второй множитель неположителен, либо первый равен нулю:
$\left[\begin{matrix} \boxed{1} \log _{5} ( x + 1 ) \leq 0 \\ \boxed{2} \log _{5} ( x + 2 ) - 1 = 0 . \end{matrix}\right.$

$\boxed{1} \log _{5} ( x + 1 ) \leq \log _{5} 1 \\ x + 1 \leq 1 \\ x \leq 0 .$

$\boxed{2} \log _{5} ( x + 2 ) = 1 \\ \log _{5} ( x + 2 ) = \log _{5} 5 \\ x + 2 = 5 \\ x = 3 .$

Объединим полученные результаты с учётом ограничений ОДЗ:

$x \in ( - 1 ; 0 ] \cup \{ 3 \} .$

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью верно и обосновано.
1 балл — допущена вычислительная ошибка или не включены/излишне исключены граничные точки, но логика решения верна.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $x \in ( - 1 ; 0 ] \cup \{ 3 \}$

Источник: ФИПИ