Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решите неравенство: $\log _{25} \left(x - 4\right) \left(x^{2} - 2 x - 8\right) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} \left(x - 4\right)^{2} .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Ход решения:
$\log _{25} ( (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) ) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} (x - 4)^{2}$
Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{matrix}\right.$
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$ . Тогда система примет вид:
$\left\{\begin{matrix} (x - 4)^2 (x + 2) > 0 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{matrix}\right.$

Следовательно, ограничения на переменную: $x \in ( - 2 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .$

Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию $25$ :
$\log _{25} ( (x - 4)^{2} (x + 2) ) + \log _{25} 25 \geq \log _{25} (x - 4)^{2}$
Используя свойство суммы логарифмов, получаем:
$\log _{25} ( 25 (x - 4)^{2} (x + 2) ) \geq \log _{25} (x - 4)^{2}$
Так как основание $25 > 1$ , переходим к сравнению аргументов:
$(x - 4)^{2} (25x + 50) \geq (x - 4)^{2}$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$(x - 4)^{2} (25x + 50) - (x - 4)^{2} \geq 0$
$(x - 4)^{2} (25x + 50 - 1) \geq 0$
$(x - 4)^{2} (25x + 49) \geq 0$
Решением данного неравенства является множество: $x \in [ - \frac{49}{25} ; + \infty ) .$

Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ:

Итоговое множество решений: $x \in [ - 1{,}96 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .$

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо ответ отличается от правильного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in [ - \frac{49}{25} ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ