Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:

Рассмотрим исходное неравенство:
$\log_{100} \left((x - 2)(x^2 + 5x - 14)\right) + 1 \geq 0{,}5 \lg (x - 2)^2$

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} (x - 2)(x^2 + 5x - 14) > 0 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases}$

Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 5x - 14$ на множители: $x^2 + 5x - 14 = (x - 2)(x + 7)$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} (x - 2)^2 (x + 7) > 0 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases}$

Решим данную систему методом интервалов:
Отсюда получаем ограничения для переменной: $x \in (-7; 2) \cup (2; +\infty)$.

Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию $100$. Заметим, что $0{,}5 \lg (x - 2)^2 = \lg |x - 2| = \log_{100} (x - 2)^2$, а единицу представим как $\log_{100} 100$:

$\log_{100} \left((x - 2)^2 (x + 7)\right) + \log_{100} 100 \geq \log_{100} (x - 2)^2$
$\log_{100} \left(100 \cdot (x - 2)^2 (x + 7)\right) \geq \log_{100} (x - 2)^2$

Так как основание логарифма $100 > 1$, переходим к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:

$100(x - 2)^2 (x + 7) \geq (x - 2)^2$
$100(x - 2)^2 (x + 7) - (x - 2)^2 \geq 0$
$(x - 2)^2 (100(x + 7) - 1) \geq 0$
$(x - 2)^2 (100x + 700 - 1) \geq 0$
$(x - 2)^2 (100x + 699) \geq 0$

Решением этого неравенства является множество $x \in [-\frac{699}{100}; +\infty)$.

Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ:

Пересечение этих множеств даёт итоговый результат:
$x \in [ - 6{,}99 ; 2 ) \cup ( 2 ; + \infty ) .$

Ответ: $x \in [ - 6{,}99 ; 2 ) \cup ( 2 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ