Задание №16 — Логарифмические неравенства

Разбор решения:
Дано неравенство: $\log _{4} ((x - 5)(x^{2} - 2x - 15)) + 1 \geq 0{,}5 \log _{2} (x - 5)^{2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} (x - 5)(x^{2} - 2x - 15) > 0 \\ (x - 5)^{2} > 0 \end{cases}$
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} (x - 5)^2 (x + 3) > 0 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases}$
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: $x \in (-3; 5) \cup (5; +\infty)$.

Преобразуем исходное неравенство, приведя логарифмы к основанию $4$:
Заметим, что $0{,}5 \log_{2} (x - 5)^{2} = \log_{2^2} (x - 5)^{2} = \log_{4} (x - 5)^{2}$.
Представим единицу как $\log_{4} 4$:
$\log_{4} ((x - 5)^{2} (x + 3)) + \log_{4} 4 \geq \log_{4} (x - 5)^{2}$
Используя свойство суммы логарифмов, объединим их в левой части:
$\log_{4} (4(x - 5)^{2} (x + 3)) \geq \log_{4} (x - 5)^{2}$
Так как основание логарифма $4 > 1$, переходим к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
$4(x - 5)^{2} (x + 3) \geq (x - 5)^{2}$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 5)^{2}$ за скобки:
$(x - 5)^{2} (4(x + 3) - 1) \geq 0$
$(x - 5)^{2} (4x + 12 - 1) \geq 0$
$(x - 5)^{2} (4x + 11) \geq 0$

Решением данного алгебраического неравенства является множество:
$x \in [ -2{,}75 ; +\infty )$

Для нахождения итогового ответа пересечём полученное решение с ОДЗ:

В итоге получаем: $x \in [ -2{,}75 ; 5 ) \cup ( 5 ; +\infty ) .$

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, либо в ответе лишние/недостающие точки из-за нестрогих границ.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in [ - \frac{11}{4} ; 5 ) \cup ( 5 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ