Задание 16

Неравенства · 109 заданий

Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 9/(log₃ x) - log₃ (9/x) ⩽ 34/(log₃ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство log_(x + 1) (x² - 5 x + 7) ⩽ log_(x + 1) x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (log₃₆ x + 1) · (1/(log₃₆ x) + 1) ⩽ log₃₆ x.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство 4/(log₂ x) - log₂ (4/x) ⩽ 38/(log₂ x²).
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,25^x - 4)/(16^x - 4^(x + 2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,125^x - 64)/(16^x - 4^(x + 1) + 4) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (0,2^x - 125)/(4^x - 2^(x + 2,5) + 8) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Сложное
Решите неравенство (1,5^x - 3,375)/(0,25^x - 0,5^(x - 3,5) + 32) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Среднее
Решите неравенство (117 - 15 · 3^x)/(9^x - 36 · 3^x + 243) ⩾ 0,5.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (31 - 5 · 2^x)/(4^x - 24 · 2^x + 128) ⩾ 0,25.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(4^(x^2) - 16 · 2^(x^2) + 64) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва
Задание №16
№16Лёгкое
Решите неравенство (x³ - x² - x + 1)/(9^(x^2) - 18 · 3^(x^2) + 81) ⩽ 0.
Показат. и логарифм. нер-ва

Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решите неравенство: $( \log _{0{,}25}^{2} \left(x + 3\right) - \log _{4} \left(x^{2} + 6 x + 9\right) + 1 ) \cdot \log _{4} \left(x + 2\right) \leq 0 .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Ход решения:
Рассмотрим неравенство: $( \log _{0{,}25}^{2} (x + 3) - \log _{4} (x^{2} + 6x + 9) + 1 ) \cdot \log _{4} (x + 2) \leq 0$

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x^{2} + 6x + 9 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ (x + 3)^{2} > 0 \\ x > -2 \end{cases}$
Учитывая все условия одновременно:

Получаем ограничение: $x \in (-2; +\infty)$

Преобразуем выражение в первой скобке. Заметим, что $\log_{0{,}25} (x+3) = \log_{4^{-1}} (x+3) = -\log_4 (x+3)$ . При возведении в квадрат минус исчезает. Также представим $x^2 + 6x + 9$ как $(x+3)^2$ :
$( \log _{4}^{2} (x + 3) - \log _{4} (x + 3)^{2} + 1 ) \cdot \log _{4} (x + 2) \leq 0$
Так как по ОДЗ $x > -2$ , выражение $(x+3)$ всегда положительно, что позволяет вынести показатель степени логарифмируемого выражения вперед:
$( \log _{4}^{2} (x + 3) - 2 \log _{4} (x + 3) + 1 ) \cdot \log _{4} (x + 2) \leq 0$

Заметим в первой скобке полный квадрат вида $a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\log _{4} (x + 3) - 1)^{2} \cdot \log _{4} (x + 2) \leq 0$
Поскольку множитель $(\log _{4} (x + 3) - 1)^{2}$ всегда неотрицателен, неравенство выполняется в двух случаях: когда этот множитель равен нулю или когда второй множитель неположителен:
$\left[\begin{matrix} 1) \log _{4} (x + 2) \leq 0 \\ 2) \log _{4} (x + 3) - 1 = 0 \end{matrix}\right.$

Решим каждое условие по отдельности:
$1) \log _{4} (x + 2) \leq \log _{4} 1 \Rightarrow x + 2 \leq 1 \Rightarrow x \leq -1$
С учетом ОДЗ ( $x > -2$ ) получаем интервал $(-2; -1]$ .

$2) \log _{4} (x + 3) = 1 \Rightarrow \log _{4} (x + 3) = \log _{4} 4 \Rightarrow x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$
Данное значение входит в область допустимых значений.

Объединяя полученные результаты, находим итоговое решение:

$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — решение содержит верную логику, но допущена вычислительная ошибка, либо ответ отличается только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$

Источник: ФИПИ