Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:

Дано неравенство: $$\frac{1}{(\log_{3} x + 1)^{2}} \leq (\log_{\sqrt{3}} x)^{2} + \log_{3} x^{4} + 1$$

Определим область допустимых значений для переменной $x$:
$\begin{cases} x > 0 \\ x^4 > 0 \\ (\log_3 x + 1)^2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_3 x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Преобразуем правую часть выражения, используя свойства логарифмов:
1) $(\log_{\sqrt{3}} x)^2 = (\log_{3^{1/2}} x)^2 = (2 \log_3 x)^2 = 4 \log_3^2 x$
2) $\log_3 x^4 = 4 \log_3 x$

Перепишем исходное неравенство с учётом преобразований:
$$\frac{1}{(\log_3 x + 1)^2} \leq 4 \log_3^2 x + 4 \log_3 x + 1$$

Введём новую переменную $t = \log_3 x$, где $t \neq -1$. Получаем:
$$\frac{1}{(t + 1)^2} \leq 4t^2 + 4t + 1$$ Заметим, что в правой части находится полный квадрат: $4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2$.
$$\frac{1}{(t + 1)^2} \leq (2t + 1)^2$$ Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(2t + 1)^2 (t + 1)^2 - 1}{(t + 1)^2} \geq 0$$ Разложим числитель как разность квадратов $((2t+1)(t+1))^2 - 1^2$:
$$\frac{((2t+1)(t+1) + 1)((2t+1)(t+1) - 1)}{(t + 1)^2} \geq 0$$ Раскроем скобки внутри множителей числителя:
$$\frac{(2t^2 + 3t + 1 + 1)(2t^2 + 3t + 1 - 1)}{(t + 1)^2} \geq 0$$ $$\frac{(2t^2 + 3t + 2)(2t^2 + 3t)}{(t + 1)^2} \geq 0$$ Вынесем $t$ за скобки во втором множителе:
$$\frac{t(2t + 3)(2t^2 + 3t + 2)}{(t + 1)^2} \geq 0$$ Квадратный трёхчлен $2t^2 + 3t + 2$ всегда положителен, так как его дискриминант $D = 9 - 16 = -7 < 0$, а коэффициент при $t^2$ положителен. Значит, знак выражения зависит только от остальных множителей.

Воспользуемся методом интервалов:

Решением относительно $t$ будут промежутки: $t \leq -\frac{3}{2}$ или $t \geq 0$.

Вернёмся к переменной $x$:
1) $\log_3 x \leq -\frac{3}{2} \Rightarrow \log_3 x \leq \log_3 3^{-3/2} \Rightarrow x \leq \frac{1}{\sqrt{3^3}} \Rightarrow x \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$
С учётом $x > 0$, получаем $0 < x \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$.
2) $\log_3 x \geq 0 \Rightarrow \log_3 x \geq \log_3 1 \Rightarrow x \geq 1$.

Оба найденных промежутка полностью входят в ОДЗ (точка $x = \frac{1}{3}$ не попадает в эти интервалы, так как $\frac{1}{3\sqrt{3}} < \frac{1}{3}$).

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{3\sqrt{3}}] \cup [1; +\infty)$

Источник: ФИПИ