Задание №15 — Углы между скрещивающимися прямыми

Решение:

а) 1) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. Тогда $AO = OC = \frac{1}{2} AC = 5$.
2) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), треугольник $AOB$ является прямоугольным. Воспользуемся теоремой Пифагора: $OB^2 = AB^2 - AO^2 = 10^2 - 5^2 = 75$.
Отсюда $OB = 5\sqrt{3}$, а вся диагональ $BD = 2 \cdot OB = 10\sqrt{3}$.
3) В равнобедренном треугольнике $ASC$ ($SA = SC$) отрезок $SO$ является медианой и высотой. Из прямоугольного треугольника $SOC$ по теореме Пифагора находим: $SO^2 = SC^2 - OC^2 = (10\sqrt{2})^2 - 5^2 = 200 - 25 = 175$.
Следовательно, $SO = 5\sqrt{7}$.
4) Применим теорему косинусов для стороны $SB$ в треугольнике $SOB$:
$SB^2 = SO^2 + OB^2 - 2 \cdot SO \cdot OB \cdot \cos \angle SOB$.
Выразим косинус: $\cos \angle SOB = \frac{SO^2 + OB^2 - SB^2}{2 \cdot SO \cdot OB} = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3}} = -\frac{150}{50\sqrt{21}} = -\frac{3}{\sqrt{21}}$.
5) Углы $SOB$ и $SOD$ являются смежными, поэтому $\cos \angle SOD = -\cos \angle SOB = \frac{3}{\sqrt{21}}$.
Теперь найдем $SD$ из треугольника $SOD$ по теореме косинусов:
$SD^2 = SO^2 + OD^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD = 175 + 75 - 2 \cdot 5\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{21}} = 250 - 150 = 100$.
Таким образом, $SD = 10$.
6) Проверим выполнение теоремы Пифагора для треугольника $SDB$: $SD^2 + BD^2 = 10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2 = SB^2$. Значит, $\angle SDB = 90^\circ$.
7) Аналогично для треугольника $SAD$: $SD^2 + AD^2 = 10^2 + 10^2 = 200 = (10\sqrt{2})^2 = SA^2$. Значит, $\angle SDA = 90^\circ$.
8) Поскольку прямая $SD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости основания ($SD \perp BD$ и $SD \perp AD$), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SD \perp (ABC)$.

б) 1) Заметим, что $AC \perp BD$ (свойство ромба) и $AC \perp SD$ (так как $SD$ перпендикулярна всей плоскости основания). Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$.
2) Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AC$ и $SB$, спроецируем их на плоскость $SBD$. Проекцией $AC$ будет точка $O$, а проекцией $SB$ — сама прямая $SB$. Искомое расстояние равно перпендикуляру $OH$, опущенному из точки $O$ на прямую $SB$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $SBD$. Проведем $OH \perp SB$. Треугольники $BOH$ и $BSD$ подобны по общему острому углу $B$.
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{OH}{SD} = \frac{BO}{SB}$.
Вычисляем: $OH = \frac{SD \cdot BO}{SB} = \frac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{20} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: б) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Источник: ФИПИ