Решение:
Дано уравнение: $2 \cos ^{3} x = \sqrt{2} \sin ^{2} x + 2 \cos x$.
а) Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:
$2 \cos ^{3} x = \sqrt{2} ( 1 - \cos ^{2} x ) + 2 \cos x$
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$2 \cos ^{3} x + \sqrt{2} \cos ^{2} x - 2 \cos x - \sqrt{2} = 0$
Применим метод группировки, вынося за скобки $\cos ^{2} x$ у первых двух слагаемых:
$\cos ^{2} x ( 2 \cos x + \sqrt{2} ) - ( 2 \cos x + \sqrt{2} ) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $( 2 \cos x + \sqrt{2} )$:
$( 2 \cos x + \sqrt{2} ) ( \cos ^{2} x - 1 ) = 0$
Произведение обращается в нуль, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:
$\left[\begin{matrix} 2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \\ \cos ^{2} x - 1 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin ^{2} x = 0 \end{matrix}\right.$
Решим полученные простейшие уравнения:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \pi m , m \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Сделаем отбор корней на заданном отрезке $\left[\frac{7 \pi}{2} ; 5 \pi\right]$. Воспользуемся методом двойного неравенства для каждой серии решений:
1) Для $x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k$:
$\frac{7 \pi}{2} \leq \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \leq 5 \pi$
Разделим на $\pi$ и умножим на 4:
$14 \leq 3 + 8 k \leq 20$
$11 \leq 8 k \leq 17$
$1{,}375 \leq k \leq 2{,}125$
Целое значение $k = 2$. Тогда корень: $x = \frac{3 \pi}{4} + 4 \pi = \frac{19 \pi}{4}$.

2) Для $x = \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n$:
$\frac{7 \pi}{2} \leq \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n \leq 5 \pi$
$14 \leq 5 + 8 n \leq 20$
$9 \leq 8 n \leq 15$
$1{,}125 \leq n \leq 1{,}875$
В данном промежутке целых значений $n$ нет ($n \in \emptyset$).

3) Для $x = \pi m$:
$\frac{7 \pi}{2} \leq \pi m \leq 5 \pi$
$3{,}5 \leq m \leq 5$
Целые значения $m = 4$ и $m = 5$.
При $m = 4$ получаем $x = 4 \pi$.
При $m = 5$ получаем $x = 5 \pi$.

Ответ:
а) $\frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, \frac{5 \pi}{4} + 2 \pi n, \pi m, \{k, n, m\} \subset \mathbb{Z}$;
б) $\frac{19 \pi}{4}; 4 \pi; 5 \pi$.

Источник: ФИПИ