Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Ход решения:
Дано уравнение: $\cos x \cdot \cos 2 x + \sqrt{3} \sin ^{2} x = \cos x$

а) Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$\cos x \cdot ( \cos ^{2} x - \sin ^{2} x ) + \sqrt{3} \sin ^{2} x - \cos x = 0$
Раскроем скобки и выразим всё через косинус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$\cos ^{3} x - \cos x \cdot (1 - \cos^2 x) + \sqrt{3} (1 - \cos^2 x) - \cos x = 0$
$\cos ^{3} x - \cos x + \cos ^{3} x + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cos ^{2} x - \cos x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2 \cos ^{3} x - \sqrt{3} \cos ^{2} x - 2 \cos x + \sqrt{3} = 0$

Для удобства введем переменную $t = \cos x$. Получим алгебраическое уравнение:
$2 t^{3} - \sqrt{3} t^{2} - 2 t + \sqrt{3} = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$t^2(2t - \sqrt{3}) - (2t - \sqrt{3}) = 0$
$( 2 t - \sqrt{3} ) ( t^{2} - 1 ) = 0$
Отсюда получаем совокупность:
$\left[\begin{matrix} 2t - \sqrt{3} = 0 \\ t^2 = 1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} t = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ t = 1 \\ t = -1 \end{matrix}\right.$

Возвращаемся к исходной переменной $x$:
$\left[\begin{matrix} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos x = 1 \\ \cos x = -1 \end{matrix}\right.$
Решая эти простейшие уравнения, находим:
$\left[\begin{matrix} x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = 2 \pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = \pi + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
Объединяя серии $x = 2\pi k$ и $x = \pi + 2\pi m$, получим $x = \pi k$.
Итоговые серии корней:
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m$).

б) Выберем корни, попадающие в интервал $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя метод оценки:
1) Для $x = \pi k$:
$- 4 \pi \leq \pi k \leq - 2{,}5 \pi \Rightarrow - 4 \leq k \leq - 2{,}5$.
Целые значения $k$: $-4$ и $-3$.
При $k = -4$, $x = -4\pi$.
При $k = -3$, $x = -3\pi$.

2) Для $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$:
$- 4 \pi \leq \frac{\pi}{6} + 2 \pi n \leq - \frac{5 \pi}{2}$
Разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{6}$:
$- 4 - \frac{1}{6} \leq 2n \leq - 2{,}5 - \frac{1}{6} \Rightarrow - \frac{25}{6} \leq 2n \leq - \frac{16}{6} \Rightarrow - \frac{25}{12} \leq n \leq - \frac{8}{6}$
$- 2{,}08... \leq n \leq - 1{,}33...$. Подходит целое $n = -2$.
Вычисляем корень: $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = - \frac{23\pi}{6}$.

3) Для $x = \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi m$:
$- 4 \pi \leq \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi m \leq - \frac{5 \pi}{2}$
$- 4 - \frac{11}{6} \leq 2m \leq - 2{,}5 - \frac{11}{6} \Rightarrow - \frac{35}{6} \leq 2m \leq - \frac{26}{6} \Rightarrow - \frac{35}{12} \leq m \leq - \frac{13}{6}$
$- 2{,}91... \leq m \leq - 2{,}16...$. Целых значений $m$ в данном промежутке нет.

Ответ:
а) $\pi k; \frac{\pi}{6} + 2 \pi n; \frac{11 \pi}{6} + 2 \pi m, \text{ где } k, n, m \in \mathbb{Z}$;
б) $- 4 \pi; - \frac{23 \pi}{6}; - 3 \pi$

Источник: ФИПИ