Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

a) Решите уравнение $\sin x \cdot \cos 2 x + \sin x = \sqrt{3} \cos ^{2} x .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

а) Преобразуем исходное уравнение: $\sin x \cdot \cos 2 x + \sin x = \sqrt{3} \cos ^{2} x$ .

Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой понижения степени для правой части: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ .
$\sin x ( \cos 2 x + 1 ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2 x + 1}{2}$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $(\cos 2x + 1)$ : $( \cos 2 x + 1 ) \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$ Данное уравнение распадается на два случая: $\left[\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2 x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдём корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]$ , используя метод двойных неравенств:

Для первой серии

x = \frac{\pi}{2} + \pi k

\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 2 \leq 1 + 2 k \leq 5 \\ 1 \leq 2 k \leq 4 \\ \frac{1}{2} \leq k \leq 2

Целые значения:

k = 1 \Rightarrow x = \frac{3 \pi}{2}

k = 2 \Rightarrow x = \frac{5 \pi}{2}

Для второй серии

x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n

\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 6 \leq 2 + 12 n \leq 15 \\ 4 \leq 12 n \leq 13 \\ \frac{1}{3} \leq n \leq \frac{13}{12}

Целое значение:

n = 1 \Rightarrow x = \frac{7 \pi}{3}

Для третьей серии

x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h

\pi \leq \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 6 \leq 4 + 12 h \leq 15 \\ 2 \leq 12 h \leq 11 \\ \frac{1}{6} \leq h \leq \frac{11}{12}

Целых решений нет:

h \in \emptyset

Ответ:
а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h, h \in \mathbb{Z}$ ;
б) $x = \frac{3 \pi}{2}; \quad x = \frac{7 \pi}{3}; \quad x = \frac{5 \pi}{2}$ .

Источник: ФИПИ