а) Преобразуем исходное уравнение: $\sin x \cdot \cos 2 x + \sin x = \sqrt{3} \cos ^{2} x$.

Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой понижения степени для правой части: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$$\sin x ( \cos 2 x + 1 ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2 x + 1}{2}$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $(\cos 2x + 1)$: $$( \cos 2 x + 1 ) \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$$ Данное уравнение распадается на два случая: $$\left[\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2 x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

б) Найдём корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя метод двойных неравенств:

Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: $\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 2 \leq 1 + 2 k \leq 5 \\ 1 \leq 2 k \leq 4 \\ \frac{1}{2} \leq k \leq 2$ Целые значения: $k = 1 \Rightarrow x = \frac{3 \pi}{2}$ $k = 2 \Rightarrow x = \frac{5 \pi}{2}$

Для второй серии $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$: $\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 6 \leq 2 + 12 n \leq 15 \\ 4 \leq 12 n \leq 13 \\ \frac{1}{3} \leq n \leq \frac{13}{12}$ Целое значение: $n = 1 \Rightarrow x = \frac{7 \pi}{3}$

Для третьей серии $x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h$: $\pi \leq \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h \leq \frac{5 \pi}{2} \\ 6 \leq 4 + 12 h \leq 15 \\ 2 \leq 12 h \leq 11 \\ \frac{1}{6} \leq h \leq \frac{11}{12}$ Целых решений нет: $h \in \emptyset$

Ответ:
а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h, h \in \mathbb{Z}$;
б) $x = \frac{3 \pi}{2}; \quad x = \frac{7 \pi}{3}; \quad x = \frac{5 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ