Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

а) Преобразуем исходное уравнение: $\sin x \cdot \cos 2 x + \sin x = \sqrt{3} \cos ^{2} x$.

Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой понижения степени для правой части: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$$\sin x ( \cos 2 x + 1 ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2 x + 1}{2}$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $(\cos 2x + 1)$: $$( \cos 2 x + 1 ) \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$$ Данное уравнение распадается на два случая: $$\left[\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2 x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

б) Найдём корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя метод двойных неравенств:

Ответ:
а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h, h \in \mathbb{Z}$;
б) $x = \frac{3 \pi}{2}; \quad x = \frac{7 \pi}{3}; \quad x = \frac{5 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ