Задание №13 — Тригонометрические уравнения. Прототипы квадратных, кубических и других уравнений

Решение:
Рассмотрим уравнение: $4 \sin ^{3} x = 3 \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right)$.
а) Воспользуемся формулой приведения $\cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$. Уравнение примет вид:
$4 \sin ^{3} x = 3 \sin x$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$4 \sin ^{3} x - 3 \sin x = 0$
Разложим выражение на множители, вынося $\sin x$ за скобки:
$\sin x ( 4 \sin ^{2} x - 3 ) = 0$
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} \sin x = 0 \\ 4 \sin ^{2} x - 3 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} \sin x = 0 \\ \sin ^{2} x = \frac{3}{4} \end{matrix}\right.$
Извлекая корень, получаем совокупность простейших уравнений:
$\left[\begin{matrix} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Решениями этих уравнений являются серии точек:
$\left[\begin{matrix} x = \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi m , m \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{4 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{5 \pi}{3} + 2 \pi d , d \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$
Заметим, что все найденные точки на тригонометрическом круге можно объединить в одну общую формулу:
$x = \frac{\pi k}{3} , k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\frac{7 \pi}{2} ; \frac{9 \pi}{2}\right]$. Для этого решим двойное неравенство относительно целого числа $k$:
$\frac{7 \pi}{2} \leq \frac{\pi k}{3} \leq \frac{9 \pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$ и умножим на $6$:
$21 \leq 2 k \leq 27$
Откуда получаем:
$10{,}5 \leq k \leq 13{,}5$
Так как $k$ — целое число, нам подходят значения $k = 11, 12, 13$.
Вычислим соответствующие значения $x$:
При $k = 11 \Rightarrow x = \frac{11 \pi}{3}$
При $k = 12 \Rightarrow x = \frac{12 \pi}{3} = 4\pi$
При $k = 13 \Rightarrow x = \frac{13 \pi}{3}$

Критерии оценивания:
— 2 балла: верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: верно решен только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ:
а) $x = \frac{\pi k}{3} , k \in \mathbb{Z} ;$
б) $x = \frac{11 \pi}{3} ; x = 4\pi ; x = \frac{13 \pi}{3}$

Источник: ФИПИ