Задание 14

Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические) · 113 заданий

Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: x/(x + 2) + (x - 2)/(x - 1) - 2/(x² + x - 2) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 4; √(5)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: x/(x - 3) + (x + 3)/(x - 5) + 6/(x² - 8 x + 15) = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(2); √(2)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: 2 ((x + 2)/(2 x - 1))² - (5 x + 10)/(2 x - 1) + 2 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(20); √(8)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (x - 2)/(x + 2) - (5 (x + 2))/(x - 2) + 6 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- √(6); √(6)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x + 5) (x - 3) (x + 3) · (x - 5) = 161. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 6].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Лёгкое
а) Решите уравнение: (x² + 6)² - (x² + 2)² = 6 (x² - 3 x + 2). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 2; 0].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: 36^x + 36 · 36^(- x) - 13 (6^x + 6 · 6^(- x)) + 42 = 0. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 2; 3].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: (√(5 + 2 √(6)))^x + (√(5 - 2 √(6)))^x = 10. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 16; log₂₆ 700].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Среднее
а) Решите уравнение: log₂ x + log₃ x = log₂ x · log₃ x. б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [√(5)/3; √(30)].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₂ (|x - 1| + 2) = 3 - log₀,₅ (|x - 1| - 1). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [- 0,5; 2,2].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (x³ + 4 x - 4 x - 16) = log₃ (x + 4). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₀,₅ 8; log₀,₅ 1].
Тригонометрич. ур-я
Задание №14
№14Сложное
а) Решите уравнение: log₃ x · log₃ (3 x² - 4) = log₃ ((x (3 x² - 4))/3). б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [log₅ 3; log₅ 30].
Тригонометрич. ур-я

Задание №14 — Тригонометрические уравнения. Разложение на множители

a) Решите уравнение $2 \cos ^{3} x = \sqrt{3} \sin ^{2} x + 2 \cos x .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 3 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Ход решения:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 \cos^3 x = \sqrt{3} \sin^2 x + 2 \cos x$ Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их: $2 \cos^3 x - 2 \cos x - \sqrt{3} \sin^2 x = 0$ Вынесем общий множитель $2 \cos x$ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $2 \cos x (\cos^2 x - 1) - \sqrt{3} (1 - \cos^2 x) = 0$ Заметим, что $(1 - \cos^2 x) = -(\cos^2 x - 1)$ , тогда уравнение примет вид: $2 \cos x (\cos^2 x - 1) + \sqrt{3} (\cos^2 x - 1) = 0$ Выносим общую скобку за скобки: $(2 \cos x + \sqrt{3})(\cos^2 x - 1) = 0$ Данное произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

2 \cos x + \sqrt{3} = 0

\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}

x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

\cos^2 x - 1 = 0

\cos x = \pm 1

x = \pi n, n \in \mathbb{Z}

б) Теперь найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[-3\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ , используя метод двойного неравенства.

Для серии

x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k

-3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2}

Умножим на

\frac{6}{\pi}

-18 \leq 5 + 12k \leq -15

-23 \leq 12k \leq -20

Целых решений для

k

нет. Для серии

x = \pi n

-3\pi \leq \pi n \leq -\frac{5\pi}{2}

Разделим на

\pi

-3 \leq n \leq -2,5

Целое значение

n = -3

, откуда

x = -3\pi

Для серии

x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi h

-3\pi \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi h \leq -\frac{5\pi}{2}

Умножим на

\frac{6}{\pi}

-18 \leq -5 + 12h \leq -15

-13 \leq 12h \leq -10

При

h = -1

получаем:

x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}

Критерии оценивания:
— 2 балла: Верно выполнены оба пункта задания.
— 1 балл: Правильно решен только пункт а), либо допущена одна вычислительная ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена.
— 0 баллов: Решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ:
а) $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ;
б) $x = -3\pi; x = -\frac{17\pi}{6}$

Источник: ФИПИ