Решение:

а) Рассмотрим треугольники $KLN$ и $LMN$. По условию они являются равнобедренными, следовательно, $KL = LN$ и $LN = LM$. Отсюда получаем равенство боковых сторон: $KL = LM$, что делает треугольник $KLM$ также равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $KLM$ углы при основании равны: $\angle LKM = \angle LMK$. Учитывая параллельность оснований трапеции, накрест лежащие углы $\angle LMK$ и $\angle MKN$ равны. Таким образом, $\angle LKM = \angle MKN$, что доказывает, что отрезок $KM$ является биссектрисой угла $LKN$.

б) Пусть $KL = LN = LM = 10{,}5$.
Заметим, что точки $K$, $N$ и $M$ равноудалены от точки $L$ на расстояние $10{,}5$. Это означает, что они лежат на окружности с центром в точке $L$ и радиусом $R = 10{,}5$.

Достроим чертеж, продлив отрезок $LM$ за точку $L$ до пересечения с окружностью в точке $S$. Отрезок $SM$ в этом случае будет диаметром данной окружности.
Четырехугольник $SMNK$ вписан в окружность и является равнобедренной трапецией, откуда следует равенство хорд: $KS = MN$.

Треугольник $SKM$ является прямоугольным, так как его угол $SKM$ опирается на диаметр $SM$.
Длина диаметра $SM = 2 \cdot LM = 2 \cdot 10{,}5 = 21$.
По условию $KM = 20$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения катета $KS$:
$$KS = \sqrt{SM^{2} - KM^{2}} = \sqrt{21^{2} - 20^{2}} = \sqrt{441 - 400} = \sqrt{41}.$$
Так как $MN = KS$, получаем $MN = \sqrt{41}$.

Критерии оценивания:
3 балла — приведено полностью верное доказательство пункта а) и получен правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), либо доказан пункт а), но в пункте б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решен верно с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо в пункте б) допущена арифметика при верном ходе решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $\sqrt{41}$

Источник: ФИПИ