Задание №15 — Объемы

Разбор задачи:

а) Согласно условию задачи, прямая $BC$ перпендикулярна ребру $SA$.
Поскольку $SB$ является высотой пирамиды $SABC$, она перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, следовательно, $SB \perp BC$.
Так как прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SA$ и $SB$) плоскости $SAB$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем $BC \perp (SAB)$.
Отсюда следует, что $BC$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в этой плоскости. Таким образом, угол $\angle ABC = 90^\circ$, и треугольник $ABC$ является прямоугольным.

б) Для нахождения объема пирамиды воспользуемся формулой: $V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SB$.
Сначала вычислим длину ребра $SA$, применив теорему косинусов для грани $SAC$:
$SA^{2} = SC^{2} + AC^{2} - 2 \cdot SC \cdot AC \cdot \cos \angle SCA$.
Подставим известные значения:
$SA = \sqrt{25^{2} + 26^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 26 \cdot \frac{288}{325}} = \sqrt{625 + 676 - 1152} = \sqrt{149}$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABC$, $SAB$ и $SBC$. По теореме Пифагора для каждого из них запишем соотношения:
1) $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$ (для $\triangle ABC$);
2) $SA^{2} = AB^{2} + SB^{2}$ (для $\triangle SAB$);
3) $SC^{2} = SB^{2} + BC^{2}$ (для $\triangle SBC$).
Составим систему уравнений на основе этих данных:
$$\begin{cases} 26^2 = AB^2 + BC^2 \\ 149 = AB^2 + SB^2 \\ 25^2 = SB^2 + BC^2 \end{cases}$$ Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $BC^2 - SB^2 = 676 - 149 = 527$. (Заметим, что в исходных данных $AC=26$, $SC=25$).
Используя систему для нахождения неизвестных величин:
$BC^2 + SB^2 = 625$
$BC^2 - SB^2 = 527$
Складывая уравнения, находим $2 BC^2 = 1152$, откуда $BC^2 = 576$ и $BC = 24$.
Тогда $SB^2 = 625 - 576 = 49$, значит $SB = 7$.
Находим $AB^2 = 676 - 576 = 100$, значит $AB = 10$.

Вычислим площадь основания (прямоугольного треугольника $ABC$):
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$.
Найдем итоговый объем пирамиды:
$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 7 = 280$.

Критерии оценивания:
3 балла — полностью верное доказательство и обоснованный правильный ответ.
2 балла — верно выполнен пункт б), либо пункт а) доказан, но в пункте б) допущена одна арифметическая ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решен с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо допущена арифметика в расчетах при верном ходе решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: 280

Источник: ФИПИ