Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Рассмотрим неравенство: $2 \log _{3} ( \sqrt{6} x ) - \log _{3} \left(\frac{6 x}{1 - x}\right) \leq \log _{3} \left(2 x^{2} + \frac{7}{x} - 21\right)$
Найдём область допустимых значений переменной (ОДЗ):
$\begin{cases} \sqrt{6} x > 0 \\ \frac{6 x}{1 - x} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \frac{x}{x - 1} < 0 \end{cases} \Rightarrow$

Таким образом, $x \in (0; 1)$.

При соблюдении ОДЗ преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов. Заметим, что если определены логарифмы слева, то выражение под логарифмом справа автоматически окажется больше нуля в процессе решения:
$\log _{3} (\sqrt{6} x)^2 - \log _{3} \left(\frac{6 x}{1 - x}\right) \leq \log _{3} \left(\frac{2 x^3 - 21 x + 7}{x}\right)$
$\log _{3} \left(\frac{6 x^2 \cdot (1 - x)}{6 x}\right) \leq \log _{3} \left(\frac{2 x^3 - 21 x + 7}{x}\right)$
Так как основание логарифма $3 > 1$, переходим к сравнению аргументов:
$\frac{x^2 (1 - x)}{x} \leq \frac{2 x^3 - 21 x + 7}{x}$
$\frac{x^2 - x^3}{x} \leq \frac{2 x^3 - 21 x + 7}{x}$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - x^3 - 2 x^3 + 21 x - 7}{x} \leq 0$
$\frac{-3 x^3 + x^2 + 21 x - 7}{x} \leq 0$
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$\frac{3 x^3 - x^2 - 21 x + 7}{x} \geq 0$
Разложим числитель на множители методом группировки $x^2(3x - 1) - 7(3x - 1)$:
$\frac{(3x - 1)(x^2 - 7)}{x} \geq 0$
$\frac{(3x - 1)(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})}{x} \geq 0$

Получаем промежутки: $x \in (-\infty; -\sqrt{7}] \cup (0; \frac{1}{3}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$.
С учетом области определения $x \in (0; 1)$ найдем пересечение множеств:

Итоговое решение: $x \in (0; \frac{1}{3}]$.

Критерии оценивания:
2 балла — обоснованно получен верный ответ.
1 балл — ответ отличается от верного только исключением/включением граничных точек, или допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным критериям.

Ответ: $x \in ( 0 ; \frac{1}{3} ]$

Источник: ФИПИ