Задание №18 — Уравнения с параметром

Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} (x-a)^2 + (y-a)^2 = 2a \\ x + y = 2 \end{cases}$$ Заметим, что первое уравнение при $a > 0$ задает окружность с центром в точке $C(a; a)$ и радиусом $R = \sqrt{2a}$. Если $a = 0$, уравнение вырождается в точку $(0; 0)$, а при $a < 0$ решений нет. Второе уравнение — это прямая $y = 2 - x$.

Чтобы система имела решения, расстояние от центра окружности $C(a; a)$ до прямой $x + y - 2 = 0$ не должно превышать радиус $R$. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой: $$d = \frac{|a + a - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a - 2|}{\sqrt{2}}$$ Условие наличия хотя бы одной общей точки: $d \le R$. $$\frac{|2a - 2|}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2a}$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая $a \ge 0$): $$\frac{(2a - 2)^2}{2} \le 2a \implies 4a^2 - 8a + 4 \le 4a \implies 4a^2 - 12a + 4 \le 0$$ $$a^2 - 3a + 1 \le 0$$ Корни квадратного трехчлена: $a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Таким образом, $a \in \left[ \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right]$.

Критерии оценивания:
4 балла — задача решена полностью, получен верный ответ с необходимыми обоснованиями.
3 балла — логика решения верна, однако допущена одна арифметическая ошибка или некоторые шаги обоснованы недостаточно полно.
2 балла — ход рассуждений правильный, но допущена одна ошибка невычислительного характера.
1 балл — найдены лишь отдельные подходящие значения параметра, при этом в работе присутствует более одной ошибки.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий.

Ответ: $a \in \left[ \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right]$

Источник: ФИПИ