Задание 19

Уравнения и неравенства с параметром · 100 заданий

Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 2^(|x| + 3) + 7 |x| + 1 = 8 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 6 · 2^(|x|) + 7 |x| + 1 = 6 y + 7 x² + a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 3 · 2^(|x|) + 5 |x| + 4 = 3 y + 5 x² + 3 a; x² + y² = 1 имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { 5 · 2^(|x|) + 6 |x| + 7 = 5 y + 6 x² - a; x² + y² = 1 имеет единственное решение.
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система { |x - a| + |y| = 2; y = √(4 - x²) имеет ровно одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a (x + 9/x)² - 2 (x + 9/x) - 49 a + 14 = 0 имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение sin 3 x + asin x = 0 не имеет решений на интервале (0; π/4).
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ln (5 x - 2) · √(x² - 2 x + 2 a - a²) = 0 имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ((a - x - 4) (a² + x² - 10))/(√(- 6 x - x²)) = 0 имеет хотя бы одно решение.
С параметрами
Задание №19
№19Сложное
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { y = - |x - a| + 1; |y| + x² + 2 x = 0 имеет ровно четыре различных решения…
С параметрами
Задание №19
№19Среднее
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений { √(a - y²) = √(a - x²); x² + y² = 2 x + 4 y имеет ровно два различных решения.
С параметрами
Задание №19
№19Лёгкое
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение √(2 x - 1) · ln (4 x - a) = √(2 x - 1) · ln (5 x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1…
С параметрами

Задание №19 — Уравнения с параметром

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых уравнение $\sqrt{7 x - 4} \cdot \ln ( x^{2} - 8 x + 17 - a^{2} ) = 0$ имеет на отрезке $[ 0 ; 4 \left]\right.$ ровно один корень.

Ваше решениедо 4 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} (x-a)^2 + (y-a)^2 = 2a \\ x + y = 2 \end{cases}$ Заметим, что первое уравнение при $a > 0$ задает окружность с центром в точке $C(a; a)$ и радиусом $R = \sqrt{2a}$ . Если $a = 0$ , уравнение вырождается в точку $(0; 0)$ , а при $a < 0$ решений нет. Второе уравнение — это прямая $y = 2 - x$ .

Чтобы система имела решения, расстояние от центра окружности $C(a; a)$ до прямой $x + y - 2 = 0$ не должно превышать радиус $R$ . Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой: $d = \frac{|a + a - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2a - 2|}{\sqrt{2}}$ Условие наличия хотя бы одной общей точки: $d \le R$ . $\frac{|2a - 2|}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2a}$ Возведем обе части в квадрат (учитывая $a \ge 0$ ): $\frac{(2a - 2)^2}{2} \le 2a \implies 4a^2 - 8a + 4 \le 4a \implies 4a^2 - 12a + 4 \le 0$ $a^2 - 3a + 1 \le 0$ Корни квадратного трехчлена: $a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ . Таким образом, $a \in \left[ \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right]$ .

Критерии оценивания:
4 балла — задача решена полностью, получен верный ответ с необходимыми обоснованиями.
3 балла — логика решения верна, однако допущена одна арифметическая ошибка или некоторые шаги обоснованы недостаточно полно.
2 балла — ход рассуждений правильный, но допущена одна ошибка невычислительного характера.
1 балл — найдены лишь отдельные подходящие значения параметра, при этом в работе присутствует более одной ошибки.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий.

Ответ: $a \in \left[ \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right]$

Источник: ФИПИ