Задание №18 — Окружности и системы окружностей

а) Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$ соответственно. Проведем радиусы в точки касания $A$ и $B$. Так как $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, то $O_1A \parallel O_2B$. Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ к отрезку $O_1A$. В прямоугольном треугольнике $O_1HO_2$ гипотенуза $O_1O_2 = R + r$, а катет $O_1H = R - r$. Тогда по теореме Пифагора: $$AB = O_2H = \sqrt{(R+r)^2 - (R-r)^2} = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}.$$ Аналогично для окружности с радиусом $c$, касающейся первых двух и прямой: расстояние между точками касания на прямой составит $2\sqrt{Rc}$ и $2\sqrt{rc}$. Поскольку точка касания третьей окружности лежит между $A$ и $B$, получаем уравнение $\sqrt{Rc} + \sqrt{rc} = \sqrt{Rr}$. Поделив обе части на $\sqrt{Rrc}$, приходим к искомому соотношению: $$\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{r}}.$$ Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся полученной формулой. Пусть радиусы известных окружностей $R = 9$ и $r = 4$. Тогда радиус $c$ третьей окружности, касающейся прямой и обеих данных окружностей внешним образом, находится из равенства: $$\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}.$$ Отсюда $\sqrt{c} = \frac{6}{5}$, следовательно, $c = \frac{36}{25} = 1,44$.

Критерии оценивания:
— Приведено полное и корректное доказательство пункта а), и получен верный результат в пункте б) — 3 балла.
— Верно решен пункт б), либо при правильном ходе решения пункта б) допущена вычислительная ошибка, при этом пункт а) выполнен полностью — 2 балла.
— Доказан только пункт а), ИЛИ пункт б) решен верно (в том числе с опорой на недоказанный пункт а), ИЛИ в пункте б) допущена одна арифмитическая ошибка при верном алгоритме — 1 балл.
— Решение не удовлетворяет перечисленным выше условиям — 0 баллов.

Ответ: 1,44

Источник: ФИПИ