Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:

Для начала преобразуем неравенство к более удобному виду. Заметим, что $4^x = (2^x)^2$. Введем вспомогательную переменную $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$$t^2 - 14t + 40 \leq 0$$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 14t + 40 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем:

$$t_1 = 4, \quad t_2 = 10$$

Следовательно, решением неравенства относительно $t$ является промежуток:

$$4 \leq t \leq 10$$

Выполним обратную замену, перейдя к переменной $x$:

$$4 \leq 2^x \leq 10$$

Представим границы в виде степеней с основанием 2:

$$2^2 \leq 2^x \leq 2^{\log_2 10}$$

Так как основание показательной функции $2 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$$2 \leq x \leq \log_2 10$$

Заметим, что $\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = 1 + \log_2 5$.

Ответ: $[2; \log_2 10]$

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полное и корректное решение, получен правильный ответ.
1 балл — алгоритм решения верный, однако допущена одна арифметическая ошибка, либо ответ отличается от истинного только включением/исключением граничных точек.
0 баллов — решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Источник: ФИПИ