Задание №14 — Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Решение:

а) 1) Поскольку фигура KLMN является квадратом, сторона $KN$ параллельна стороне $LM$. Отсюда следует, что прямая $LM$ параллельна плоскости основания $(ABC)$.
2) Прямые LM и AB расположены в одной плоскости ADB и не пересекаются, значит, $LM \parallel AB$. Таким образом, мы получаем цепочку параллельности: $KN \parallel LM \parallel AB$.
3) Рассуждая аналогично для другой пары сторон, получаем, что прямые KL, MN и CD также параллельны друг другу. Так как в квадрате смежные стороны перпендикулярны ($KL \perp LM$), то и соответствующие им прямые AB и CD также будут перпендикулярны: $AB \perp CD$.

б) 1) Искомое расстояние от вершины B до плоскости сечения KLM совпадает с высотой пирамиды BKMN, опущенной из точки B на грань KMN. Площадь этого прямоугольного треугольника вычисляется как $S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Тогда искомое расстояние можно найти через объем: $d(B, KMN) = \frac{3 V_{BKMN}}{S_{KMN}}$.
2) Обозначим за AH высоту исходного тетраэдра ABCD, а за $KH_1$ — высоту пирамиды KBNM, проведенную к плоскости BCD. Найдем объем пирамиды KBNM, используя отношение объемов: $V_{KBNM} = \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{BMN}$. Учитывая подобие, имеем $KH_1 = \frac{3}{5} AH$ и $S_{BMN} = \frac{4}{25} S_{BCD}$. Тогда $V_{KBNM} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot V_{ABCD}$. Подставив $V_{ABCD} = 25$, получаем $V_{KBNM} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot 25 = \frac{12}{5}$.
3) Вычисляем финальное значение расстояния: $d(B, KMN) = \frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2} = \frac{18}{5} = 3,6$.

Ответ: б) 3,6

Источник: ФИПИ