Стереометрия (с доказательством) · 57 заданий
- Задание №15№15Среднее
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁ B₁ соответственно. Известно, что AM = 3 MA₁, A₁ K = KB₁. Через точ…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка K - середина ребра B₁ C₁. Плоскость α проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью α является…
Многогранники
- Задание №15№15Среднее
В правильной треугольной призме ABCA₁ B₁ C₁ точка K – середина ребра A₁ B₁. Плоскость α проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призм…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого сеч…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка M - середина ребра AB. Плоскость α, перпен…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых стор…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC является ромб. а) Докажите, что г…
Многогранники
- Задание №15№15Сложное
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC, равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на ребрах SD и BC соответственно…
Многогранники
- Задание №15№15Лёгкое
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, и C, а на окружности другог…
Тела вращения
- Задание №15№15Сложное
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC…
Многогранники
На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём AK:KC=2:3. Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.
Решение
Решение:
а) 1) Поскольку фигура KLMN является квадратом, сторона KN параллельна стороне LM. Отсюда следует, что прямая LM параллельна плоскости основания (ABC).
2) Прямые LM и AB расположены в одной плоскости ADB и не пересекаются, значит, LM∥AB. Таким образом, мы получаем цепочку параллельности: KN∥LM∥AB.
3) Рассуждая аналогично для другой пары сторон, получаем, что прямые KL, MN и CD также параллельны друг другу. Так как в квадрате смежные стороны перпендикулярны (KL⊥LM), то и соответствующие им прямые AB и CD также будут перпендикулярны: AB⊥CD.
б) 1) Искомое расстояние от вершины B до плоскости сечения KLM совпадает с высотой пирамиды BKMN, опущенной из точки B на грань KMN. Площадь этого прямоугольного треугольника вычисляется как SKMN=21⋅KN⋅NM=21⋅2⋅2=2. Тогда искомое расстояние можно найти через объем: d(B,KMN)=SKMN3VBKMN.
2) Обозначим за AH высоту исходного тетраэдра ABCD, а за KH1 — высоту пирамиды KBNM, проведенную к плоскости BCD. Найдем объем пирамиды KBNM, используя отношение объемов: VKBNM=31⋅KH1⋅SBMN. Учитывая подобие, имеем KH1=53AH и SBMN=254SBCD. Тогда VKBNM=53⋅254⋅VABCD. Подставив VABCD=25, получаем VKBNM=53⋅254⋅25=512.
3) Вычисляем финальное значение расстояния: d(B,KMN)=23⋅512=518=3,6.
Ответ: б) 3,6
Источник: ФИПИ