Задание №14 — Смешанные прототипы

Разбор задачи:

а) Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставив это выражение в уравнение, получим: $$2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$$ Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$, перепишем уравнение в виде: $$2\cos^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$$ Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2 x) - \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2 = 0$$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Тогда имеем квадратное уравнение $2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0$. Находим дискриминант: $D = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18$. Корни уравнения: $$t_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \quad t_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$$ Так как $|-\sqrt{2}| > 1$, корень $t_2$ не подходит. Возвращаемся к переменной $x$: $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Сделаем отбор корней на промежутке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности или неравенств. Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: $$-3\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2} \iff -\frac{13}{4} \le 2n \le -\frac{7}{4} \iff -\frac{13}{8} \le n \le -\frac{7}{8}$$ Целое значение $n = -1$, тогда $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$: $$-3\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le -\frac{3\pi}{2} \iff -\frac{15}{4} \le 2n \le -\frac{9}{4} \iff -\frac{15}{8} \le n \le -\frac{9}{8}$$ Целое значение $n = -1$, тогда $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}$.

Критерии оценивания:

— 2 балла: приведены полностью верные и обоснованные решения обоих пунктов.

— 1 балл: верно выполнен только пункт а), ИЛИ допущена одна арифметическая ошибка, из-за которой ответы неверны, но логика решения обоих пунктов сохранена.

— 0 баллов: решение не удовлетворяет ни одному из указанных выше условий.

Источник: ФИПИ