Задание №15 — Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Решение:
а) 1) Построим сечение призмы плоскостью $ALR$. Пусть прямая $AR$ пересекает продолжение ребра $BC$ в точке $G$. Проведем отрезок $GL$, который пересечет ребро $CC_{1}$ в точке $Q$.
Далее, пусть $GL$ пересекает $BB_{1}$ в точке $M$, а отрезок $AM$ пересекает $BB_{1}$ в точке $K$.
Таким образом, искомым сечением является пятиугольник $ARQLK$.

2) Исходя из условия задачи, $AB = 30$ и $DR = 10$. Следовательно, длина отрезка $CR = CD - DR = 30 - 10 = 20$.
3) Рассмотрим подобие треугольников $RCG$ и $ABG$ (по двум углам):
Коэффициент подобия равен $k = \frac{RC}{AB} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$. Отсюда находим длину $CG$: так как $CG = \frac{2}{3} BG = \frac{2}{3} (BC + CG)$, получаем $CG = 2 BC = 60$.
4) Заметим, что $CG \parallel C_{1} L$. Тогда треугольники $CQG$ и $C_{1} QL$ подобны по двум углам:
Отношение сторон составляет $k = \frac{CG}{C_{1} L} = \frac{60}{15} = 4$.
Следовательно, $CQ : QC_{1} = 4 : 1$, что и требовалось доказать.
б) Для нахождения расстояния воспользуемся методом координат. Выберем начало координат в точке $D$.
Определим координаты ключевых точек: $A ( 30 ; 0 ; 0 )$, $R ( 0 ; 10 ; 0 )$, $Q ( 0 ; 30 ; 24 )$ и точка $C ( 0 ; 30 ; 0 )$.

Пусть уравнение плоскости $ALR$ имеет вид $ax + by + cz + d = 0$. Подставив координаты точек $A, R$ и $Q$, составим систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} 30 a + d = 0 \\ 10 b + d = 0 \\ 30 b + 24 c + d = 0 \end{matrix}\right.$
Положим $d = - 30$. Тогда получаем значения коэффициентов: $a = 1$, $b = 3$, $c = - 2{,}5$.
Уравнение плоскости примет вид:
$x + 3 y - 2{,}5 z - 30 = 0$ или, после умножения на 2: $2 x + 6 y - 5 z - 60 = 0$.
Вычислим расстояние от точки $C$ до данной плоскости по формуле:
$\rho \left(C , ALR\right) = \frac{|2 \cdot 0 + 6 \cdot 30 - 5 \cdot 0 - 60|}{\sqrt{2^2 + 6^2 + (-5)^2}} = \frac{|180 - 60|}{\sqrt{4 + 36 + 25}} = \frac{120}{\sqrt{65}} = \frac{24 \sqrt{65}}{13}$.

Ответ: б) $\frac{24 \sqrt{65}}{13}$

Источник: ФИПИ